Cho a, b là 2 số thực khác 0. Chứng minh rằng: 4a^2b^2/(a^2+b^2)^2+a^2/b^2+b^2/a^2 ≥ 3abc

Ta có 
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\frac{4a^{2} .b^{2}}{\left( a^{2} +b^{2}\right)^{2}} +\frac{a^{2}}{b^{2}} +\frac{b^{2}}{a^{2}} \geqslant 3\\
\\
\Leftrightarrow \frac{4a^{2} .b^{2}}{\left( a^{2} +b^{2}\right)^{2}} -1+\frac{a^{2}}{b^{2}} +\frac{b^{2}}{a^{2}} -2\geqslant 0\\
\Leftrightarrow \frac{4a^{2} .b^{2} -\left( a^{2} +b^{2}\right)^{2}}{\left( a^{2} +b^{2}\right)^{2}} +\frac{a^{4} +b^{4} -2a^{2} b^{2}}{a^{2} b^{2}} \geqslant 0\\
\Leftrightarrow \frac{2a^{2} .b^{2} -a^{4} -b^{4}}{\left( a^{2} +b^{2}\right)^{2}} +\frac{\left( a^{2} -b^{2}\right)^{2}}{a^{2} b^{2}} \geqslant 0\\
\Leftrightarrow \frac{-\left( a^{2} -b^{2}\right)^{2}}{\left( a^{2} +b^{2}\right)^{2}} +\frac{\left( a^{2} -b^{2}\right)^{2}}{a^{2} b^{2}} \geqslant 0\\
\Leftrightarrow \left( a^{2} -b^{2}\right)^{2}\left[\frac{1}{a^{2} b^{2}} -\frac{1}{\left( a^{2} +b^{2}\right)^{2}}\right] \geqslant 0\\
\Leftrightarrow \frac{\left( a^{2} -b^{2}\right)^{2}\left[\left( a^{2} +b^{2}\right)^{2} -a^{2} b^{2}\right]}{a^{2} b^{2}\left( a^{2} +b^{2}\right)^{2}} \geqslant 0\\
\Leftrightarrow \frac{\left( a^{2} -b^{2}\right)^{2}\left( a^{4} +b^{4} +a^{2} b^{2}\right)}{a^{2} b^{2}\left( a^{2} +b^{2}\right)^{2}} \geqslant 0\\
\end{array}$
Ta thấy bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do là tích các số không âm nên bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle a=\pm b$ $