tìm gtnn của P=x^2-2xy+2y^2-2x+3y+3

Bước 1: Xác định loại bài toán và nêu ý tưởng chính và các bước logic để giải quyết bài toán. Bài toán này là bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (gtnn) của biểu thức P = x^2 - 2xy + 2y^2 - 2x + 3y + 3. Để tìm gtnn, chúng ta cần tìm điểm cực tiểu của hàm số P theo hai biến x và y. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp toán học gọi là "đạo hàm riêng". Bước 2: Giải bài toán từng bước một. Chú ý đến logic và lý do của từng bước. Không cố tình tạo ra câu trả lời nếu không chắc chắn. Bước 2.1: Tính đạo hàm riêng theo biến x. Để tính đạo hàm riêng theo biến x, ta giữ y không đổi và tính đạo hàm của P theo x. \(\frac{{\partial P}}{{\partial x}} = \frac{{\partial}}{{\partial x}}(x^2 - 2xy + 2y^2 - 2x + 3y + 3)\) Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của các hàm số, ta có: \(\frac{{\partial P}}{{\partial x}} = 2x - 2y - 2\) Bước 2.2: Tính đạo hàm riêng theo biến y. Để tính đạo hàm riêng theo biến y, ta giữ x không đổi và tính đạo hàm của P theo y. \(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial}}{{\partial y}}(x^2 - 2xy + 2y^2 - 2x + 3y + 3)\) Áp dụng quy tắc tính đạo hàm của các hàm số, ta có: \(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = -2x + 4y + 3\) Bước 2.3: Đặt đạo hàm riêng bằng 0 và giải hệ phương trình. Để tìm điểm cực tiểu của hàm số P, ta cần giải hệ phương trình sau: \(\begin{cases} \frac{{\partial P}}{{\partial x}} = 0 \\ \frac{{\partial P}}{{\partial y}} = 0 \end{cases}\) Thay các đạo hàm riêng vào hệ phương trình, ta có: \(\begin{cases} 2x - 2y - 2 = 0 \\ -2x + 4y + 3 = 0 \end{cases}\) Bước 2.4: Giải hệ phương trình để tìm giá trị của x và y. Giải hệ phương trình trên, ta có: \(2x - 2y - 2 = 0 \Rightarrow x = y + 1\) \(-2x + 4y + 3 = 0 \Rightarrow x = 2y + \frac{3}{2}\) Đặt \(x = y + 1\) vào phương trình thứ hai, ta có: \(y + 1 = 2y + \frac{3}{2} \Rightarrow y = -\frac{1}{2}\) Thay \(y = -\frac{1}{2}\) vào \(x = y + 1\), ta có: \(x = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}\) Bước 2.5: Tính giá trị nhỏ nhất của P. Để tính giá trị nhỏ nhất của P, ta thay x và y vào biểu thức P: \(P = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{2}\right)(-\frac{1}{2}) + 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{2}\right) + 3\left(-\frac{1}{2}\right) + 3\) Simplifying the expression, we get: \(P = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 - \frac{3}{2} + 3 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{5}{4}\) Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{5}{4}\).