Cho tam giác nhọn ABC. Gọi N là điểm bất kì trên đoạn thẳng BC (N khác B và C). Gọi các điểm H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N trên cạnh AB, AC. Xác định vị trí của điểm N để đoạn thẳng HK có...

Đây là một bài toán thuộc lĩnh vực Hình học không gian, yêu cầu tìm vị trí của điểm N để đoạn thẳng HK có độ dài nhỏ nhất. Bước 1: Xác định các thông tin đã biết - Tam giác ABC là tam giác nhọn. - N là điểm bất kì trên BC (N khác B và C). - H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N trên AB, AC. Bước 2: Vẽ hình và xác định mục tiêu Chúng ta cần tìm vị trí của N sao cho HK có độ dài nhỏ nhất. Bước 3: Giải quyết bài toán Ta có: $HK^2 = NH^2 + NK^2 - 2.NH.NK.cos\angle{HNK}$ Với $\angle{HNK} = \angle{BAC}$ (do $NH \perp AB$, $NK \perp AC$) Do đó: $HK^2 = NH^2 + NK^2 - 2.NH.NK.cos\angle{BAC}$ Nhưng $NH = NB.sin\angle{BNH} = NB.sin\angle{CAB}$ và $NK = NC.sin\angle{CNK} = NC.sin\angle{CBA}$ nên: $HK^2 = NB^2.sin^2{\angle CAB} + NC^2.sin^2{\angle CBA} - 2.NB.NC.sin{\angle CAB}.sin{\angle CBA}$ Để $HK^2$ nhỏ nhất thì $NB.sin{\angle CAB} = NC.sin{\angle CBA}$ (1) Từ (1) ta suy ra: $\frac{NB}{NC} = \frac{sin{\angle CBA}}{sin{\angle CAB}}$ Vì $\frac{AB}{AC} = \frac{sin{\angle CBA}}{sin{\angle CAB}}$ nên $\frac{NB}{NC} = \frac{AB}{AC}$ Suy ra, N chính là trung điểm của BC. Vậy, vị trí của N để đoạn thẳng HK có độ dài nhỏ nhất là trung điểm của BC.