Cho tam giác MNP vuông tại M có MN = 3cm, MP = 4cm. Vẽ đường tròn (O) đường kính MN cắt NP tại H. a) Tính MH và PH. b) Kẻ OA vuông góc với MH tại A tia OA cắt MP tại E. Chứng minh rằng EH vuông góc v...

a) Để tính MH và PH, ta cần sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông MNP. Theo định lý Pytago, ta có: $NP^2 = MN^2 + MP^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Suy ra $NP = \sqrt{25} = 5$. Vì H là giao điểm của NP và đường tròn (O) đường kính MN, nên theo tính chất của đường tròn, ta có $MH \cdot NP = MN \cdot MP$, hay $MH \cdot 5 = 3 \cdot 4$, suy ra $MH = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5}$. Vì $PH = NP - MH = 5 - \frac{12}{5} = \frac{23}{5}$. b) Để chứng minh EH vuông góc với OH, ta sử dụng tính chất của đường kính vuông góc với dây cung. Vì OA vuông góc với MH tại A, nên A là trung điểm của MH (theo tính chất của đường kính vuông góc với dây cung). Suy ra $EA = \frac{MH}{2} = \frac{6}{5}$. Vì E là trung điểm của MP, nên $EP = \frac{MP}{2} = 2$. Vì $EH = EP - HA = 2 - \frac{6}{5} = \frac{4}{5}$. Vì $OH = OA + AH = EA + AH = \frac{6}{5} + \frac{12}{5} = \frac{18}{5}$. Vì $EH \cdot OH = \frac{4}{5} \cdot \frac{18}{5} = \frac{72}{25}$, $MO^2 = MN^2 + NO^2 = 3^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2 = 9 + \frac{25}{4} = \frac{81}{4}$. Vì $MO^2 = \frac{81}{4}$, $OH^2 = \left(\frac{18}{5}\right)^2 = \frac{324}{25}$, $EH^2 = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$. Ta thấy $EH^2 + OH^2 = \frac{16}{25} + \frac{324}{25} = \frac{340}{25} = MO^2$. Theo định lý Pytago đảo, ta có tam giác EOH vuông tại E. Suy ra EH vuông góc với OH.