trong KG oxyz, cho hai điểm A(-3;2;-1) B(-1;0;-1) điểm M(a;b;0) thoả mãn vecto MA.MB nhỏ nhất

Để tìm điểm \(M(a, b, 0)\) sao cho tích vô hướng \(\vec{MA} \cdot \vec{MB}\) nhỏ nhất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm các vector \(\vec{MA}\) và \(\vec{MB}\): - Vector \(\vec{MA}\) từ điểm \(M(a, b, 0)\) đến điểm \(A(-3, 2, -1)\): \[ \vec{MA} = (-3 - a, 2 - b, -1 - 0) = (-3 - a, 2 - b, -1) \] - Vector \(\vec{MB}\) từ điểm \(M(a, b, 0)\) đến điểm \(B(-1, 0, -1)\): \[ \vec{MB} = (-1 - a, 0 - b, -1 - 0) = (-1 - a, -b, -1) \] 2. Tính tích vô hướng \(\vec{MA} \cdot \vec{MB}\): \[ \vec{MA} \cdot \vec{MB} = (-3 - a)(-1 - a) + (2 - b)(-b) + (-1)(-1) \] \[ = (3 + a + 3a + a^2) + (-2b + b^2) + 1 \] \[ = a^2 + 4a + 3 + b^2 - 2b + 1 \] \[ = a^2 + 4a + b^2 - 2b + 4 \] 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(a^2 + 4a + b^2 - 2b + 4\): - Ta thấy rằng \(a^2 + 4a\) và \(b^2 - 2b\) đều là các bình phương hoàn chỉnh. - Ta có thể viết lại dưới dạng: \[ a^2 + 4a = (a + 2)^2 - 4 \] \[ b^2 - 2b = (b - 1)^2 - 1 \] - Thay vào biểu thức ban đầu: \[ a^2 + 4a + b^2 - 2b + 4 = (a + 2)^2 - 4 + (b - 1)^2 - 1 + 4 \] \[ = (a + 2)^2 + (b - 1)^2 - 1 \] 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của \((a + 2)^2 + (b - 1)^2 - 1\): - Biểu thức \((a + 2)^2 + (b - 1)^2\) luôn lớn hơn hoặc bằng 0 vì đây là tổng của hai bình phương. - Giá trị nhỏ nhất của \((a + 2)^2 + (b - 1)^2\) là 0, xảy ra khi \(a + 2 = 0\) và \(b - 1 = 0\), tức là \(a = -2\) và \(b = 1\). 5. Kết luận: - Khi \(a = -2\) và \(b = 1\), biểu thức \((a + 2)^2 + (b - 1)^2 - 1\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(-1\). Vậy điểm \(M(a, b, 0)\) sao cho tích vô hướng \(\vec{MA} \cdot \vec{MB}\) nhỏ nhất là \(M(-2, 1, 0)\). Câu 88: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm các vector \(\overrightarrow{MA}\) và \(\overrightarrow{MB}\): - Vector \(\overrightarrow{MA}\) từ điểm \(M(a, b, 0)\) đến điểm \(A(-3, 2, -1)\): \[ \overrightarrow{MA} = (-3 - a, 2 - b, -1 - 0) = (-3 - a, 2 - b, -1) \] - Vector \(\overrightarrow{MB}\) từ điểm \(M(a, b, 0)\) đến điểm \(B(-1, 0, -1)\): \[ \overrightarrow{MB} = (-1 - a, 0 - b, -1 - 0) = (-1 - a, -b, -1) \] 2. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}\): - Tích vô hướng của hai vector \(\overrightarrow{MA}\) và \(\overrightarrow{MB}\) là: \[ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (-3 - a)(-1 - a) + (2 - b)(-b) + (-1)(-1) \] - Ta mở rộng biểu thức: \[ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (3 + a + 3a + a^2) + (-2b + b^2) + 1 \] \[ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = a^2 + 4a + 3 - 2b + b^2 + 1 \] \[ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = a^2 + 4a + b^2 - 2b + 4 \] 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(a^2 + 4a + b^2 - 2b + 4\): - Để biểu thức \(a^2 + 4a + b^2 - 2b + 4\) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị của \(a\) và \(b\) sao cho các bình phương \(a^2\) và \(b^2\) cùng các hệ số tuyến tính \(4a\) và \(-2b\) tối ưu hóa. - Ta nhận thấy rằng \(a^2 + 4a\) và \(b^2 - 2b\) đều là các bình phương hoàn chỉnh: \[ a^2 + 4a = (a + 2)^2 - 4 \] \[ b^2 - 2b = (b - 1)^2 - 1 \] - Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (a + 2)^2 - 4 + (b - 1)^2 - 1 + 4 \] \[ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (a + 2)^2 + (b - 1)^2 - 1 \] - Biểu thức \((a + 2)^2 + (b - 1)^2 - 1\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \((a + 2)^2 = 0\) và \((b - 1)^2 = 0\), tức là \(a = -2\) và \(b = 1\). 4. Tính \(a + 2b\): - Với \(a = -2\) và \(b = 1\): \[ a + 2b = -2 + 2 \times 1 = -2 + 2 = 0 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{0} \] Câu 89: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của \(a\) và \(b\) sao cho \(MA^2 + MB^2\) nhỏ nhất. Trước hết, ta viết lại các khoảng cách \(MA\) và \(MB\) dưới dạng bình phương các khoảng cách từ điểm \(M(a; b; 0)\) đến các điểm \(A(1; 2; 1)\) và \(B(2; -1; 3)\). Khoảng cách \(MA\) là: \[ MA = \sqrt{(a-1)^2 + (b-2)^2 + (0-1)^2} \] Do đó, \[ MA^2 = (a-1)^2 + (b-2)^2 + 1 \] Khoảng cách \(MB\) là: \[ MB = \sqrt{(a-2)^2 + (b+1)^2 + (0-3)^2} \] Do đó, \[ MB^2 = (a-2)^2 + (b+1)^2 + 9 \] Ta cần tối thiểu hóa tổng: \[ MA^2 + MB^2 = (a-1)^2 + (b-2)^2 + 1 + (a-2)^2 + (b+1)^2 + 9 \] Gộp các biểu thức lại: \[ MA^2 + MB^2 = (a-1)^2 + (a-2)^2 + (b-2)^2 + (b+1)^2 + 10 \] Phân tích các bình phương: \[ (a-1)^2 = a^2 - 2a + 1 \] \[ (a-2)^2 = a^2 - 4a + 4 \] \[ (b-2)^2 = b^2 - 4b + 4 \] \[ (b+1)^2 = b^2 + 2b + 1 \] Gộp lại: \[ MA^2 + MB^2 = (a^2 - 2a + 1) + (a^2 - 4a + 4) + (b^2 - 4b + 4) + (b^2 + 2b + 1) + 10 \] \[ = 2a^2 - 6a + 5 + 2b^2 - 2b + 5 + 10 \] \[ = 2a^2 - 6a + 2b^2 - 2b + 20 \] Để tối thiểu hóa biểu thức trên, ta cần tìm giá trị của \(a\) và \(b\) sao cho các hệ số của \(a\) và \(b\) trong biểu thức bậc hai là 0. Xét hệ số của \(a\): \[ -6a \] Để tối thiểu hóa, ta cần: \[ -6a = 0 \Rightarrow a = 0 \] Xét hệ số của \(b\): \[ -2b \] Để tối thiểu hóa, ta cần: \[ -2b = 0 \Rightarrow b = 0 \] Tuy nhiên, ta thấy rằng \(a = 0\) và \(b = 0\) không phải là giá trị tối ưu vì nó không thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Ta cần kiểm tra lại các giá trị khác. Ta thử các giá trị \(a\) và \(b\) gần gũi với trung điểm của các tọa độ của \(A\) và \(B\): Trung điểm của \(A\) và \(B\) là: \[ \left( \frac{1+2}{2}, \frac{2-1}{2}, \frac{1+3}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 2 \right) \] Do đó, ta chọn \(a = 1.5\) và \(b = 0.5\). Tuy nhiên, vì \(a\) và \(b\) phải là số nguyên, ta chọn giá trị gần nhất là \(a = 1\) và \(b = 0\). Kiểm tra lại: \[ MA^2 + MB^2 = (1-1)^2 + (0-2)^2 + 1 + (1-2)^2 + (0+1)^2 + 9 \] \[ = 0 + 4 + 1 + 1 + 1 + 9 = 16 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \(a + b\) là: \[ a + b = 1 + 0 = 1 \] Đáp án: C. 1