Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Về cùng phía với nửa đường tròn, vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc tia Ax. Qua M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn (C là tiếp...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. a) Chứng minh: bốn điểm A, M, C, O cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm I của đường tròn đó. - Ta thấy rằng \( \angle AMC = 90^\circ \) vì \(MC\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại \(C\). - \( \angle AOC = 90^\circ \) vì \(O\) là tâm của nửa đường tròn và \(AC\) là bán kính. - Do đó, bốn điểm \(A\), \(M\), \(C\), \(O\) cùng thuộc một đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AMC\) và \(AOC\). Tâm \(I\) của đường tròn ngoại tiếp này nằm ở trung điểm của đoạn thẳng nối giữa \(A\) và \(C\). b) Chứng minh: \(MA + NB = MN\) - Ta thấy rằng \( \angle AMB = 90^\circ \) vì \(Ax\) vuông góc với \(AB\). - \( \angle BNC = 90^\circ \) vì \(By\) vuông góc với \(AB\). - Do đó, \(MN\) là đường chéo của hình chữ nhật \(AMNB\). Trong hình chữ nhật, tổng độ dài hai cạnh kề bằng độ dài đường chéo, tức là: \[ MA + NB = MN \] c) Xác định tâm của đường tròn đi qua \(M\), \(O\), \(N\). - Ta thấy rằng \( \angle MON = 90^\circ \) vì \(O\) là tâm của nửa đường tròn và \(MN\) là đường chéo của hình chữ nhật \(AMNB\). - Do đó, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MON\) nằm ở trung điểm của đoạn thẳng nối giữa \(M\) và \(N\). Tâm của đường tròn ngoại tiếp này là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\). Bài 6. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu: a) Chứng minh: bốn điểm A, M, C, O cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm I của đường tròn - Ta thấy rằng OA = OC vì cả hai đều là bán kính của nửa đường tròn tâm O. - Tiếp tuyến MC vuông góc với bán kính OC tại tiếp điểm C, do đó góc MCO là góc vuông. - Vì góc MCO là góc vuông, nên bốn điểm A, M, C, O cùng thuộc một đường tròn có đường kính là MO. - Tâm I của đường tròn này nằm chính giữa đoạn thẳng MO. b) Chứng minh: \(MA + NB = MN\) - Ta thấy rằng MA và NB là các đoạn thẳng vuông góc với AB. - Vì MC là tiếp tuyến của nửa đường tròn, nên góc MCO là góc vuông. - Do đó, tam giác MCO là tam giác vuông tại C. - Ta cũng thấy rằng tam giác MNO là tam giác vuông tại N vì MN vuông góc với By. - Vì tam giác MCO và tam giác MNO đều là tam giác vuông, nên ta có thể áp dụng tính chất của tam giác vuông để chứng minh \(MA + NB = MN\). - Ta thấy rằng \(MA + NB\) chính là tổng của hai cạnh góc vuông của tam giác MNO, và \(MN\) là cạnh huyền của tam giác MNO. - Do đó, \(MA + NB = MN\). c) Xác định tâm của đường tròn đi qua M, O, N - Ta thấy rằng M, O, N là ba điểm trên đường tròn. - Tâm của đường tròn đi qua ba điểm này nằm chính giữa đoạn thẳng ON. - Ta gọi tâm của đường tròn này là J. Đáp số: a) Bốn điểm A, M, C, O cùng thuộc một đường tròn có tâm I nằm chính giữa đoạn thẳng MO. b) \(MA + NB = MN\) c) Tâm của đường tròn đi qua M, O, N là J nằm chính giữa đoạn thẳng ON.