Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, CF cắt nhau tại H. Vẽ DN _I_AB tại N. Gọi I là giao điểm của BH và DN. Chứng minh: DI/CH = BI/BH và DI/NI = CH/FH

Để chứng minh các tỉ lệ đã cho, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và đường cao. 1. Chứng minh DI/CH = BI/BH: - Xét tam giác DHC và tam giác BHI: - Ta thấy góc DHC và góc BHI là góc chung. - Góc DCH và góc BHI đều là góc vuông (vì AD và CF là đường cao). - Do đó, tam giác DHC và tam giác BHI đồng dạng theo trường hợp góc - góc (góc DHC = góc BHI và góc DCH = góc BHI). - Từ đó ta có tỉ lệ cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng: \[ \frac{DI}{CH} = \frac{BI}{BH} \] 2. Chứng minh DI/NI = CH/FH: - Xét tam giác DNI và tam giác CHF: - Ta thấy góc DNI và góc CHF là góc chung. - Góc DNI và góc CHF đều là góc vuông (vì DN vuông góc với AB và CF là đường cao). - Do đó, tam giác DNI và tam giác CHF đồng dạng theo trường hợp góc - góc (góc DNI = góc CHF và góc DNI = góc CHF). - Từ đó ta có tỉ lệ cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng: \[ \frac{DI}{NI} = \frac{CH}{FH} \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ \frac{DI}{CH} = \frac{BI}{BH} \quad \text{và} \quad \frac{DI}{NI} = \frac{CH}{FH} \]