giúp em với ạ

Câu 4. Để xác định hàm số bậc hai có đồ thị là parabol $(P): y = ax^2 + bx + 2$ đi qua điểm $A(1;0)$ và có trục đối xứng $x = \frac{3}{2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Thay tọa độ điểm A vào phương trình hàm số: Vì điểm $A(1;0)$ thuộc đồ thị của hàm số, nên ta thay $x = 1$ và $y = 0$ vào phương trình $y = ax^2 + bx + 2$: \[ 0 = a(1)^2 + b(1) + 2 \] \[ 0 = a + b + 2 \] Từ đây ta có phương trình: \[ a + b + 2 = 0 \quad \text{(1)} \] 2. Sử dụng điều kiện về trục đối xứng: Trục đối xứng của parabol $y = ax^2 + bx + c$ là $x = -\frac{b}{2a}$. Theo đề bài, trục đối xứng là $x = \frac{3}{2}$, nên ta có: \[ -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2} \] Nhân cả hai vế với $-2a$, ta được: \[ b = -3a \quad \text{(2)} \] 3. Giải hệ phương trình: Thay phương trình (2) vào phương trình (1): \[ a + (-3a) + 2 = 0 \] \[ a - 3a + 2 = 0 \] \[ -2a + 2 = 0 \] \[ -2a = -2 \] \[ a = 1 \] Thay $a = 1$ vào phương trình (2): \[ b = -3(1) \] \[ b = -3 \] 4. Viết phương trình hàm số: Vậy hàm số bậc hai cần tìm là: \[ y = x^2 - 3x + 2 \] Đáp số: $y = x^2 - 3x + 2$ Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình của parabol và tìm điểm cực đại của nó. Bước 1: Xác định hệ tọa độ và phương trình parabol - Chọn gốc tọa độ O tại điểm giữa hai chân cổng và trục Ox nằm trên mặt đất. - Trục Oy đi qua đỉnh của cổng Arch. - Parabol có phương trình y = ax^2 + bx + c. Bước 2: Tìm các điểm thuộc parabol - Điểm A(0, 0) - Điểm B(81, 0) (vì khoảng cách giữa hai chân cổng là 162 m) - Điểm C(10, 43) Bước 3: Thay các điểm vào phương trình parabol - Thay A(0, 0) vào phương trình: 0 = a(0)^2 + b(0) + c => c = 0 - Thay B(81, 0) vào phương trình: 0 = a(81)^2 + b(81) => 0 = 6561a + 81b - Thay C(10, 43) vào phương trình: 43 = a(10)^2 + b(10) => 43 = 100a + 10b Bước 4: Giải hệ phương trình Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 6561a + 81b = 0 \\ 100a + 10b = 43 \end{cases} \] Chia cả hai vế của phương trình thứ nhất cho 81: \[ 81a + b = 0 \quad \text{(1)} \] Chia cả hai vế của phương trình thứ hai cho 10: \[ 10a + b = 4.3 \quad \text{(2)} \] Lấy (2) trừ (1): \[ (10a + b) - (81a + b) = 4.3 - 0 \] \[ -71a = 4.3 \] \[ a = -\frac{4.3}{71} = -0.06056338028169014 \] Thay \(a\) vào phương trình (1): \[ 81(-0.06056338028169014) + b = 0 \] \[ -4.900000000000001 + b = 0 \] \[ b = 4.9 \] Bước 5: Viết phương trình parabol Phương trình parabol là: \[ y = -0.06056338028169014x^2 + 4.9x \] Bước 6: Tìm điểm cực đại của parabol Đạo hàm của phương trình parabol: \[ y' = -0.12112676056338028x + 4.9 \] Tìm x khi y' = 0: \[ -0.12112676056338028x + 4.9 = 0 \] \[ x = \frac{4.9}{0.12112676056338028} = 40.45 \] Thay x = 40.45 vào phương trình parabol để tìm y: \[ y = -0.06056338028169014(40.45)^2 + 4.9(40.45) \] \[ y = -0.06056338028169014(1636.2025) + 200.205 \] \[ y = -98.99999999999999 + 200.205 \] \[ y = 101.205 \] Vậy độ cao của cổng Arch là khoảng 101.2 m. Câu 6. Để hàm số $y = -x^2 + (m^2 - 8)x + 3$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; -3)$, ta cần tìm điều kiện của tham số $m$ sao cho đạo hàm của hàm số dương trên khoảng này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx} (-x^2 + (m^2 - 8)x + 3) = -2x + (m^2 - 8) \] Bước 2: Để hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; -3)$, ta cần: \[ y' > 0 \text{ trên khoảng } (-\infty; -3) \] Bước 3: Thay $x = -3$ vào đạo hàm: \[ y'(-3) = -2(-3) + (m^2 - 8) = 6 + m^2 - 8 = m^2 - 2 \] Bước 4: Để hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; -3)$, ta cần: \[ m^2 - 2 > 0 \] \[ m^2 > 2 \] \[ |m| > \sqrt{2} \] Bước 5: Kết luận: \[ m < -\sqrt{2} \text{ hoặc } m > \sqrt{2} \] Vậy, tham số $m$ để hàm số $y = -x^2 + (m^2 - 8)x + 3$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; -3)$ là: \[ m < -\sqrt{2} \text{ hoặc } m > \sqrt{2} \]