Cho hình thang $\mathrm{ABCD}(\mathrm{AD} / / \mathrm{BC} ; \mathrm{AD}>\mathrm{BC})$ có đường chéo AC và BD vuông góc vói nhau tại I . Trên đáy AD lấy M sao cho AM bằng độ dài đường trung bình của hìn...

Để chứng minh tam giác ACM cân tại M, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm độ dài đoạn thẳng AM: - Ta biết rằng đường trung bình của hình thang ABCD là đoạn thẳng nối trung điểm của hai đáy. Gọi trung điểm của BC là N và trung điểm của AD là P. - Độ dài đường trung bình của hình thang ABCD là: \[ MN = \frac{AD + BC}{2} \] - Theo đề bài, AM bằng độ dài đường trung bình của hình thang, tức là: \[ AM = \frac{AD + BC}{2} \] 2. Chứng minh tam giác ACM cân tại M: - Ta cần chứng minh rằng CM = AM. - Xét tam giác ABI và tam giác CDI: - Ta có AC và BD vuông góc tại I, tức là góc AIB = 90° và góc CID = 90°. - Vì AD // BC nên góc DAI = góc CBI (góc so le trong). - Do đó, tam giác ABI và tam giác CDI đồng dạng theo trường hợp góc - góc (góc AIB = góc CID và góc DAI = góc CBI). - Từ đó, ta có: \[ \frac{AI}{CI} = \frac{BI}{DI} \] - Điều này cho thấy AI và CI là các đoạn thẳng tỉ lệ với BI và DI. 3. Xét tam giác ACM: - Ta đã biết AM = \frac{AD + BC}{2}. - Để chứng minh CM = AM, ta xét tam giác ACM: - Ta có góc AIC = 90°, do đó tam giác AIC vuông tại I. - Vì AM = \frac{AD + BC}{2}, ta cần chứng minh CM cũng bằng \frac{AD + BC}{2}. - Ta xét tam giác CMD: - Vì AD // BC, ta có góc DAM = góc CBM (góc so le trong). - Do đó, tam giác DAM và tam giác CBM đồng dạng theo trường hợp góc - góc (góc DAM = góc CBM và góc ADM = góc CMB). - Từ đó, ta có: \[ \frac{DM}{BM} = \frac{AM}{CM} \] - Vì AM = \frac{AD + BC}{2}, ta có: \[ CM = AM = \frac{AD + BC}{2} \] Vậy tam giác ACM cân tại M. Đáp số: Tam giác ACM cân tại M.