Giúp mình với!

Câu 10. Để tìm tâm và bán kính của mặt cầu từ phương trình \(x^2 + y^2 + z^2 + x - 2y + 4z - 3 = 0\), chúng ta cần hoàn thành bình phương cho các biến \(x\), \(y\), và \(z\). Bước 1: Nhóm các hạng tử liên quan đến mỗi biến lại với nhau: \[ x^2 + x + y^2 - 2y + z^2 + 4z - 3 = 0 \] Bước 2: Hoàn thành bình phương cho mỗi nhóm: - Với \(x^2 + x\): \[ x^2 + x = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \] - Với \(y^2 - 2y\): \[ y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1 \] - Với \(z^2 + 4z\): \[ z^2 + 4z = (z + 2)^2 - 4 \] Bước 3: Thay các biểu thức đã hoàn thành bình phương vào phương trình ban đầu: \[ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + (y - 1)^2 - 1 + (z + 2)^2 - 4 - 3 = 0 \] Bước 4: Gộp các hằng số lại: \[ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 - \frac{1}{4} - 1 - 4 - 3 = 0 \] \[ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 - \frac{29}{4} = 0 \] Bước 5: Di chuyển hằng số sang phía bên phải: \[ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = \frac{29}{4} \] Bước 6: So sánh với dạng chuẩn của phương trình mặt cầu \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\), ta nhận thấy: - Tâm của mặt cầu là \( I \left( -\frac{1}{2}, 1, -2 \right) \) - Bán kính của mặt cầu là \( R = \sqrt{\frac{29}{4}} = \frac{\sqrt{29}}{2} \) Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, không có đáp án nào đúng với kết quả trên. Do đó, có thể có lỗi trong việc so sánh hoặc trong các đáp án đã cho. Tuy nhiên, theo phương pháp hoàn thành bình phương, tâm và bán kính của mặt cầu là: Tâm: \( I \left( -\frac{1}{2}, 1, -2 \right) \) Bán kính: \( R = \frac{\sqrt{29}}{2} \) Đáp án gần đúng nhất trong các lựa chọn đã cho là: A. \( I \left( -\frac{1}{2}, 1, -2 \right); R = \frac{\sqrt{33}}{2} \) Nhưng theo kết quả chính xác từ phương pháp hoàn thành bình phương, đáp án đúng là: Tâm: \( I \left( -\frac{1}{2}, 1, -2 \right) \) Bán kính: \( R = \frac{\sqrt{29}}{2} \) Câu 11. Để biết máy thu sóng của thiết bị đó ở vị trí nào thì thu được sóng, ta cần kiểm tra khoảng cách từ mỗi điểm đến điểm phát sóng I(-1; 2; 4) có nhỏ hơn hoặc bằng bán kính phủ sóng là 4000 m hay không. Ta sẽ tính khoảng cách từ điểm I đến các điểm M, N, P, Q theo công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: Khoảng cách giữa hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \) là: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] 1. Kiểm tra điểm M(1; -2; 3): \[ IM = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-2 - 2)^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{(1 + 1)^2 + (-2 - 2)^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21} \] 2. Kiểm tra điểm N(1; 4; 5): \[ IN = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (4 - 2)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{(1 + 1)^2 + (4 - 2)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \] 3. Kiểm tra điểm P(3; 1; -1): \[ IP = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 2)^2 + (-1 - 4)^2} = \sqrt{(3 + 1)^2 + (1 - 2)^2 + (-1 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 1 + 25} = \sqrt{42} \] 4. Kiểm tra điểm Q(-1; 3; -1): \[ IQ = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (3 - 2)^2 + (-1 - 4)^2} = \sqrt{(-1 + 1)^2 + (3 - 2)^2 + (-1 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{0 + 1 + 25} = \sqrt{26} \] So sánh các kết quả trên với bán kính phủ sóng 4000 m: - \( \sqrt{21} < 4000 \) - \( 3 < 4000 \) - \( \sqrt{42} < 4000 \) - \( \sqrt{26} < 4000 \) Như vậy, tất cả các điểm M, N, P, Q đều nằm trong phạm vi phủ sóng của thiết bị phát sóng. Đáp án: Tất cả các điểm M, N, P, Q đều thu được sóng.