Giải bài tập tự luận.

**Câu 1:** Dữ kiện: - Độ phóng xạ ban đầu \( H_0 = 1,8 \times 10^5 \, \mathrm{Bq} \) - Chu kỳ bán rã \( T = 30 \) năm - \( N_A = 6,02 \times 10^{23} \, mol^{-1} \) - 1 năm = 365 ngày (dùng để tính chính xác thời gian, nhưng trong bài này chỉ cần tính theo năm) - Đồng vị phóng xạ: \( ^{137}_{55}Cs \), khối lượng mol xấp xỉ \( M = 137 \, g/mol \) - \( \lambda = \frac{\ln 2}{T} \) --- **a) Tính khối lượng Cs trong quặng** Bước 1: Tính hằng số phóng xạ \(\lambda\): \[ \lambda = \frac{\ln 2}{T} = \frac{0,693}{30} = 0,0231 \, \text{năm}^{-1} \] Bước 2: Độ phóng xạ liên quan đến số hạt nhân: \[ H_0 = \lambda N \Rightarrow N = \frac{H_0}{\lambda} = \frac{1,8 \times 10^5}{0,0231} \approx 7,79 \times 10^6 \, \text{hạt nhân} \] Bước 3: Tính số mol: \[ n = \frac{N}{N_A} = \frac{7,79 \times 10^6}{6,02 \times 10^{23}} = 1,29 \times 10^{-17} \, mol \] Bước 4: Tính khối lượng: \[ m = n \times M = 1,29 \times 10^{-17} \times 137 = 1,77 \times 10^{-15} \, g \] **Kết luận:** Khối lượng Cs trong quặng là khoảng \(1,77 \times 10^{-15}\) gam. --- **b) Tính độ phóng xạ vào đầu năm 2025** Thời gian từ 1985 đến 2025 là: \[ t = 2025 - 1985 = 40 \, \text{năm} \] Độ phóng xạ tại thời điểm \(t\) là: \[ H = H_0 e^{-\lambda t} = 1,8 \times 10^5 \times e^{-0,0231 \times 40} \] Tính \(e^{-0,0231 \times 40} = e^{-0,924} \approx 0,397\) Vậy: \[ H = 1,8 \times 10^5 \times 0,397 \approx 7,15 \times 10^4 \, \mathrm{Bq} \] **Kết luận:** Độ phóng xạ vào đầu năm 2025 khoảng \(7,15 \times 10^4\) Bq. --- **c) Thời gian khi độ phóng xạ còn \(3,6 \times 10^4\) Bq** Ta có: \[ H = H_0 e^{-\lambda t} = 3,6 \times 10^4 \Rightarrow e^{-\lambda t} = \frac{3,6 \times 10^4}{1,8 \times 10^5} = 0,2 \] Lấy log: \[ -\lambda t = \ln 0,2 = -1,609 \Rightarrow t = \frac{1,609}{0,0231} \approx 69,6 \, \text{năm} \] **Kết luận:** Độ phóng xạ còn \(3,6 \times 10^4\) Bq sau khoảng 69,6 năm kể từ 1985, tức vào khoảng năm \(1985 + 69,6 \approx 2054,6\). --- **Câu 2:** Dữ kiện: - Diện tích khung dây \( S = 20 \, cm^2 = 20 \times 10^{-4} \, m^2 = 2 \times 10^{-3} \, m^2 \) - Số vòng dây \( N = 200 \) - Tốc độ quay \( f = 100 \, vòng/s \) - Cảm ứng từ \( B = 0,3 \, T \) - Gốc thời gian \( t = 0 \) lúc vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) trùng chiều \(\vec{B}\) --- **a) Viết biểu thức từ thông \(\Phi(t)\)** Từ thông qua khung dây có \(N\) vòng là: \[ \Phi(t) = N B S \cos \theta(t) \] Góc quay \(\theta(t) = \omega t\), với \(\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 100 = 200 \pi \, rad/s\) Gốc thời gian \(t=0\) thì \(\theta = 0\) và \(\vec{n}\) cùng chiều \(\vec{B}\) nên: \[ \Phi(t) = N B S \cos (\omega t) = 200 \times 0,3 \times 2 \times 10^{-3} \cos(200 \pi t) \] Tính hệ số: \[ 200 \times 0,3 = 60, \quad 60 \times 2 \times 10^{-3} = 0,12 \] Vậy: \[ \boxed{\Phi(t) = 0,12 \cos (200 \pi t) \quad (Wb)} \] --- **b) Viết biểu thức suất điện động cảm ứng \(e(t)\)** Suất điện động cảm ứng theo định luật Faraday: \[ e(t) = - \frac{d\Phi}{dt} = - \frac{d}{dt} \left(0,12 \cos(200 \pi t) \right) \] Tính đạo hàm: \[ e(t) = -0,12 \times (-200 \pi) \sin (200 \pi t) = 0,12 \times 200 \pi \sin (200 \pi t) \] Tính hệ số: \[ 0,12 \times 200 \pi = 24 \pi \approx 75,4 \, (V) \] Vậy: \[ \boxed{e(t) = 24 \pi \sin (200 \pi t) \quad (V)} \] --- **Tóm tắt đáp án:** 1) a) \( m \approx 1,77 \times 10^{-15} \, g \) b) \( H(2025) \approx 7,15 \times 10^{4} \, Bq \) c) \( t \approx 69,6 \, năm \) (năm 2054) 2) a) \(\Phi(t) = 0,12 \cos (200 \pi t) \, Wb\) b) \(e(t) = 24 \pi \sin (200 \pi t) \, V\)