giup với ạ 5) Giải phương trình sau:,$\frac1{x^2+3x+2}+\frac1{x^2+5x+6}+\frac1{x^2+7x+12}+...$,$+\frac1{x^2+25x+156}=\frac3{91}$

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải phương trình $\frac{1}{x^2+3x+2} + \frac{1}{x^2+5x+6} + \frac{1}{x^2+7x+12} + ... + \frac{1}{x^2+25x+156} = \frac{3}{91}$, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các phân thức trong phương trình.
Các phân thức có dạng $\frac{1}{x^2 + (2n+1)x + n(n+1)}$, với $n$ chạy từ 1 đến 12.

Bước 2: Phân tích các phân thức thành dạng tích.
Ta thấy rằng:
$$ x^2 + (2n+1)x + n(n+1) = (x+n)(x+n+1) $$

Do đó, các phân thức có thể viết lại dưới dạng:
$$ \frac{1}{(x+n)(x+n+1)} $$

Bước 3: Áp dụng phương pháp phân tích thành hiệu hai phân thức.
$$ \frac{1}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{1}{x+n} - \frac{1}{x+n+1} $$

Bước 4: Viết lại phương trình ban đầu bằng cách áp dụng phương pháp trên.
$$ \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} \right) + \left( \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} \right) + \left( \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4} \right) + ... + \left( \frac{1}{x+12} - \frac{1}{x+13} \right) = \frac{3}{91} $$

Bước 5: Quan sát và rút gọn các phân thức.
Nhận thấy rằng các phân thức giữa các cặp sẽ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại:
$$ \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+13} = \frac{3}{91} $$

Bước 6: Rút gọn phương trình.
$$ \frac{(x+13) - (x+1)}{(x+1)(x+13)} = \frac{3}{91} $$
$$ \frac{12}{(x+1)(x+13)} = \frac{3}{91} $$

Bước 7: Nhân cả hai vế với $(x+1)(x+13)$ để loại bỏ mẫu số.
$$ 12 = \frac{3}{91} \cdot (x+1)(x+13) $$
$$ 12 \cdot 91 = 3 \cdot (x+1)(x+13) $$
$$ 1092 = 3 \cdot (x+1)(x+13) $$
$$ 364 = (x+1)(x+13) $$

Bước 8: Giải phương trình bậc hai.
$$ x^2 + 14x + 13 = 364 $$
$$ x^2 + 14x - 351 = 0 $$

Bước 9: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai.
$$ x = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 + 4 \cdot 351}}{2} $$
$$ x = \frac{-14 \pm \sqrt{196 + 1404}}{2} $$
$$ x = \frac{-14 \pm \sqrt{1600}}{2} $$
$$ x = \frac{-14 \pm 40}{2} $$

Do đó, ta có hai nghiệm:
$$ x = \frac{26}{2} = 13 $$
$$ x = \frac{-54}{2} = -27 $$

Bước 10: Kiểm tra điều kiện xác định.
Phương trình ban đầu có các mẫu số là các đa thức bậc hai, do đó các nghiệm phải thỏa mãn điều kiện $x \neq -1, -2, ..., -13$. Cả hai nghiệm $x = 13$ và $x = -27$ đều thỏa mãn điều kiện này.

Vậy nghiệm của phương trình là:
$$ x = 13 \text{ hoặc } x = -27 $$