Bài 21: Cho ΔABC nhọn có ba đường cao AD,BE và CF cắt nhai tại H
Chứng minh BD.BC=BF.BA (Hình 32)
Chứng minh ΔBDF∽ΔBAC từ đó suy ra (BDF) ̂=(BAC) ̂
Chứng minh (CDE) ̂=(BAC) ̂
Chứng minh DH là tia phân giác (FDE) ̂

Question

Bài 21: Cho ΔABC nhọn có ba đường cao AD,BE và CF cắt nhai tại H
	Chứng minh BD.BC=BF.BA (Hình 32)
	Chứng minh ΔBDF∽ΔBAC từ đó suy ra (BDF) ̂=(BAC) ̂
	Chứng minh (CDE) ̂=(BAC) ̂
	Chứng minh DH là tia phân giác (FDE) ̂

t lâm · Accepted Answer

Bài 21:

a) Chứng minh $BD.BC=BF.BA$

Xét $ riangle ADC$ vuông tại D: $\widehat{C} + \widehat{DAC} = 90^\circ$

Xét $ riangle BEC$ vuông tại E: $\widehat{A} + \widehat{EBC} = 90^\circ$

Mà $\widehat{C} + \widehat{EBC} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{DAC} = \widehat{EBC}$

Xét $ riangle BDA$ và $ riangle BFC$:

$\widehat{BDA} = \widehat{BFC} = 90^\circ$

$\widehat{DBA} = \widehat{FBC}$ (góc chung)

$\Rightarrow riangle BDA \sim riangle BFC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{BD}{BF} = \frac{BA}{BC}$

$\Rightarrow BD.BC = BF.BA$

b) Chứng minh $ riangle BDF \sim riangle BAC$

Ta có: $\frac{BD}{BA} = \frac{BF}{BC}$ (chứng minh trên)

$\widehat{DBF} = \widehat{ABC}$ (góc chung)

$\Rightarrow riangle BDF \sim riangle BAC$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{BDF} = \widehat{BAC}$

c) Chứng minh $\widehat{CDE} = \widehat{BAC}$

Xét tứ giác $AEDC$ có: $\widehat{AED} = \widehat{ADC} = 90^\circ$

$\Rightarrow$ Tứ giác $AEDC$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{CDE} = \widehat{CAE}$ (cùng chắn cung $CE$)

Mà $\widehat{CAE} = \widehat{BAC}$

$\Rightarrow \widehat{CDE} = \widehat{BAC}$

d) Chứng minh $DH$ là tia phân giác $\widehat{FDE}$

Ta có: $\widehat{BDF} = \widehat{BAC}$ (chứng minh trên)

$\widehat{CDE} = \widehat{BAC}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow \widehat{BDF} = \widehat{CDE}$

Mà $\widehat{BDF} + \widehat{EDF} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

$\widehat{CDE} + \widehat{FDE} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{EDH} = \widehat{FDH}$

Vậy $DH$ là tia phân giác $\widehat{FDE}$.

Timi · Answer

Bài 21:  
Giải thích:  
- Cho tam giác nhọn $ \triangle ABC $ với ba đường cao $ AD, BE, CF $ cắt nhau tại $ H $.  
- Để chứng minh các hệ thức và tính chất liên quan đến các đoạn thẳng và góc trong tam giác này, ta sử dụng tính chất tam giác vuông, đồng dạng tam giác, tứ giác nội tiếp và các định lý về đường phân giác.  
- Cụ thể:  
  + Chứng minh $ BD \cdot BC = BF \cdot BA $ bằng cách xét đồng dạng tam giác vuông $ \triangle ABD $ và $ \triangle CBF $.  
  + Chứng minh $ \triangle BDF \sim \triangle BAC $ dựa trên tiêu chuẩn đồng dạng (AA hoặc SSS), từ đó suy ra $ \widehat{BDF} = \widehat{BAC} $.  
  + Chứng minh góc $ \widehat{CDE} = \widehat{BAC} $ dựa vào tính chất đường phân giác và góc trong tam giác.  
  + Chứng minh $ DH $ là tia phân giác của góc $ \widehat{FDE} $ bằng cách sử dụng các tứ giác nội tiếp và tính chất góc tạo bởi các đoạn thẳng.

Đáp án:  
1. $ BD \cdot BC = BF \cdot BA $ vì tam giác vuông $ \triangle ABD $ đồng dạng với tam giác vuông $ \triangle CBF $ theo AA, suy ra tỉ lệ cạnh:  
$$
\frac{BD}{BF} = \frac{AB}{BC} \implies BD \cdot BC = BF \cdot AB
$$

2. $ \triangle BDF \sim \triangle BAC $ theo tiêu chuẩn đồng dạng góc-góc (AA) hoặc cạnh-cạnh-cạnh (SSS), do đó:  
$$
\widehat{BDF} = \widehat{BAC}
$$

3. Góc $ \widehat{CDE} = \widehat{BAC} $ được chứng minh dựa trên tính chất đường phân giác $ AD $ của tam giác và các góc trong tam giác, cụ thể:  
$$
\widehat{BAD} = \widehat{CAD} \quad \Rightarrow \quad \widehat{CDE} = \widehat{BAC}
$$

4. $ DH $ là tia phân giác của góc $ \widehat{FDE} $ vì:  
- Các tứ giác $ AEFH $ và $ ABDE $ là tứ giác nội tiếp (do tổng các góc đối bù bằng 180°).  
- Từ đó suy ra các góc tương ứng bằng nhau, dẫn đến việc $ DH $ chia đôi góc $ \widehat{FDE} $.

Kết luận:  
Các yêu cầu trong bài toán đã được chứng minh theo các bước trên, đáp ứng đúng đề bài.

Bài 21: Cho ΔABC nhọn có ba đường cao AD,BE và CF cắt nhai tại H Chứng minh BD.BC=BF.BA (Hình 32) Chứng minh ΔBDF∽ΔBAC từ đó suy ra (BDF) ̂=(BAC) ̂ Chứng minh (CDE) ̂=(BAC) ̂ Chứng minh DH là tia p...