Bài 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC(AB

Question

Bài 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC(AB < AC) có AD là tia phân giác của BAC(D = BC). Trên cạnh
AC lấy điểm E sao cho AB = AE .
a) Chứng minh AABD = MED.
b) Gọi M là giao điểm của AD và BE. Chứng minh ADBE cân và AD – BE tại M .
c) Lấy điểm G thuộc AM sao cho AG=2 AM . Trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho
GA=GK . Chứng minh G là trọng tâm của A4BE và GB = EK.

Accepted Answer

Bài 4:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh $\triangle ABD \cong \triangle MED$

Giả thiết:
- $AD$ là tia phân giác của $\angle BAC$.
- $AB = AE$.
- $D$ là giao điểm của $AD$ và $BC$.

Chứng minh:

1. Xét hai tam giác $\triangle ABD$ và $\triangle MED$:
   - $AD$ là tia phân giác của $\angle BAC$, do đó $\angle BAD = \angle EAD$.
   - $AB = AE$ (giả thiết).
   - $AD$ là cạnh chung.

2. Theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có:
   $$
   \triangle ABD \cong \triangle MED
   $$

b) Chứng minh $\triangle ADBE$ cân và $AD \perp BE$ tại $M$

Giả thiết:
- $M$ là giao điểm của $AD$ và $BE$.

Chứng minh:

1. Từ phần a, ta có $\triangle ABD \cong \triangle MED$, do đó:
   - $\angle ABD = \angle MED$
   - $\angle ADB = \angle MDE$

2. Vì $\angle ABD = \angle MED$ và $\angle ADB = \angle MDE$, nên $\triangle ADBE$ là tam giác cân tại $D$.

3. Xét $\triangle ADB$ và $\triangle EDB$:
   - $\angle ADB = \angle EDB$ (do $\triangle ABD \cong \triangle MED$)
   - $AD = ED$ (do $\triangle ABD \cong \triangle MED$)

4. Do đó, $AD$ và $BE$ là hai đường cao của $\triangle ADBE$, nên $AD \perp BE$ tại $M$.

c) Chứng minh $G$ là trọng tâm của $\triangle ABE$ và $GB = EK$

Giả thiết:
- $G$ thuộc $AM$ sao cho $AG = \frac{2}{3}AM$.
- Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $K$ sao cho $GA = GK$.

Chứng minh:

1. Vì $G$ thuộc $AM$ và $AG = \frac{2}{3}AM$, nên $G$ là trọng tâm của $\triangle ABE$.

2. Xét $\triangle ABE$, $G$ là trọng tâm, do đó:
   - $BG = \frac{2}{3}BM$
   - $EG = \frac{2}{3}EM$

3. Vì $GA = GK$, nên $G$ nằm trên trung tuyến của $\triangle ABE$ kéo dài qua $A$.

4. Do đó, $GB = EK$ vì $G$ là trọng tâm và $GA = GK$.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được các phần của bài toán theo yêu cầu.

Bài 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC(AB < AC) có AD là tia phân giác của BAC(D = BC). Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AB = AE . a) Chứng minh AABD = MED. b) Gọi M là giao điểm của AD và BE. Chứng minh AD...