Tìm số tự nhiên n để $n^2+4n+2021$ là số chính phương

Giả sử \( n^2 + 4n + 2021 = m^2 \) với \( m \) là số tự nhiên. Ta có: \[ n^2 + 4n + 2021 = m^2 \] \[ n^2 + 4n + 4 + 2017 = m^2 \] \[ (n + 2)^2 + 2017 = m^2 \] Do đó: \[ m^2 - (n + 2)^2 = 2017 \] \[ (m - (n + 2))(m + (n + 2)) = 2017 \] Vì 2017 là số nguyên tố, nên ta có các trường hợp sau: 1. \( m - (n + 2) = 1 \) và \( m + (n + 2) = 2017 \) 2. \( m - (n + 2) = -1 \) và \( m + (n + 2) = -2017 \) Xét trường hợp 1: \[ m - (n + 2) = 1 \] \[ m + (n + 2) = 2017 \] Cộng hai phương trình trên: \[ 2m = 2018 \] \[ m = 1009 \] Thay \( m = 1009 \) vào \( m - (n + 2) = 1 \): \[ 1009 - (n + 2) = 1 \] \[ 1009 - 1 = n + 2 \] \[ 1008 = n + 2 \] \[ n = 1006 \] Xét trường hợp 2: \[ m - (n + 2) = -1 \] \[ m + (n + 2) = -2017 \] Cộng hai phương trình trên: \[ 2m = -2018 \] \[ m = -1009 \] Vì \( m \) là số tự nhiên, nên trường hợp này không thỏa mãn. Vậy \( n = 1006 \) là số tự nhiên duy nhất thỏa mãn điều kiện \( n^2 + 4n + 2021 \) là số chính phương.