. Cho tam giác ABC cân tại A, có AH là trung tuyến. a) Chứng minh rằng: ∆ABH = ∆ACH. b) Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HA = HD. Chứng mình rằng: AB = DC và ACDA cân. c) Gọi M là...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh rằng: ∆ABH = ∆ACH Chứng minh: 1. Tam giác ABC cân tại A, do đó AB = AC. 2. AH là trung tuyến, nên H là trung điểm của BC, do đó BH = HC. 3. Góc AHB và góc AHC là hai góc đối đỉnh, nên chúng bằng nhau. Từ ba điều trên, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có: \[ \triangle ABH = \triangle ACH \] b) Chứng minh rằng: AB = DC và ACDA cân Chứng minh: 1. Trên tia đối của tia HA, lấy điểm D sao cho HA = HD. 2. Xét hai tam giác AHD và AHA, ta có: - AH = AH (chung) - HA = HD (theo giả thiết) - Góc AHD = góc AHA (đối đỉnh) Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có: \[ \triangle AHD = \triangle AHA \] Suy ra AD = AH. 3. Vì AB = AC (tam giác ABC cân tại A) và AD = AH, nên tam giác ACDA cân tại A. 4. Do tam giác AHD = tam giác AHA, suy ra góc BAD = góc CAD, do đó AB = DC. c) Chứng minh rằng: HG = DK Chứng minh: 1. Gọi M là trung điểm của CD, do đó CM = MD. 2. Đoạn thẳng AN cắt đoạn thẳng BC tại G. 3. Trên tia đối của tia NG, lấy điểm K sao cho NG = NK. Xét hai tam giác HNG và DKG, ta có: - NG = NK (theo giả thiết) - HG = HG (chung) - Góc HNG = góc DKG (vì NG = NK và G là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đối xứng qua H) Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có: \[ \triangle HNG = \triangle DKG \] Suy ra HG = DK. Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.