giải giúp mình

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị của \( x \) sao cho biểu thức \((x^2-9)[x^2-(1+\sqrt{2})x+\sqrt{2}]=0\) bằng 0. Biểu thức trên sẽ bằng 0 nếu ít nhất một trong hai yếu tố bên trong dấu ngoặc vuông hoặc dấu ngoặc đơn bằng 0. 1. \( x^2 - 9 = 0 \) - \( x^2 = 9 \) - \( x = 3 \) hoặc \( x = -3 \) 2. \( x^2 - (1 + \sqrt{2})x + \sqrt{2} = 0 \) - Ta cần kiểm tra xem phương trình này có nghiệm nguyên nào không. - Thử các giá trị nguyên gần với \( 1 + \sqrt{2} \approx 2.414 \), tức là \( x = 1, 2, 3 \). Thử \( x = 1 \): - \( 1^2 - (1 + \sqrt{2}) \cdot 1 + \sqrt{2} = 1 - 1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} = 0 \) - Vậy \( x = 1 \) là nghiệm. Thử \( x = 2 \): - \( 2^2 - (1 + \sqrt{2}) \cdot 2 + \sqrt{2} = 4 - 2 - 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 - \sqrt{2} \neq 0 \) - Vậy \( x = 2 \) không phải là nghiệm. Thử \( x = 3 \): - \( 3^2 - (1 + \sqrt{2}) \cdot 3 + \sqrt{2} = 9 - 3 - 3\sqrt{2} + \sqrt{2} = 6 - 2\sqrt{2} \neq 0 \) - Vậy \( x = 3 \) không phải là nghiệm. Vậy các giá trị của \( x \) thỏa mãn điều kiện là \( x = 3, -3, 1 \). Tập hợp \( X \) có 3 phần tử: \( X = \{ -3, 1, 3 \} \). Đáp án: Tập \( X \) có 3 phần tử. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định các phần tử thuộc tập hợp A. Tập hợp A đã cho bao gồm các phần tử sau: A = {1, 2, 3, 4} Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn để xác định phần tử nào thuộc tập hợp A. - Lựa chọn A: 1 Phần tử 1 có trong tập hợp A. - Lựa chọn B: 2 Phần tử 2 có trong tập hợp A. - Lựa chọn C: 3 Phần tử 3 có trong tập hợp A. - Lựa chọn D: 4 Phần tử 4 có trong tập hợp A. Vì vậy, tất cả các lựa chọn A, B, C và D đều là phần tử của tập hợp A. Đáp án: Tất cả các lựa chọn A, B, C và D đều đúng. Câu 3: Để tìm các phần tử của tập \( X = \{ x \in \mathbb{Q} | (x^2 - x - 6)(x^2 - 5) = 0 \} \), chúng ta cần giải phương trình \((x^2 - x - 6)(x^2 - 5) = 0\). Phương trình này sẽ bằng không nếu ít nhất một trong hai yếu tố bằng không: 1. \( x^2 - x - 6 = 0 \) 2. \( x^2 - 5 = 0 \) Chúng ta sẽ giải từng phương trình riêng lẻ. Giải phương trình \( x^2 - x - 6 = 0 \): Ta có thể phân tích đa thức thành nhân tử: \[ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0 \] Do đó: \[ x - 3 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 2 = 0 \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Giải phương trình \( x^2 - 5 = 0 \): \[ x^2 = 5 \] \[ x = \sqrt{5} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{5} \] Tuy nhiên, vì yêu cầu của bài toán là chỉ sử dụng số tự nhiên và không sử dụng số thập phân hay phân số, nên các giá trị \(\sqrt{5}\) và \(-\sqrt{5}\) không thuộc tập hợp \(\mathbb{Q}\) (số hữu tỉ). Vậy, các phần tử của tập \( X \) là: \[ X = \{ -2, 3 \} \] Đáp án đúng là: \[ C.~X = \{ -2, 3 \} \] Câu 4: Phương trình \(x^2 + x + 1 = 0\) không có nghiệm thực vì \(x^2 + x + 1 > 0\) với mọi giá trị của \(x\). Do đó, tập hợp \(X\) không chứa bất kỳ phần tử nào. Đáp án đúng là: \(C. X = \emptyset.\) Câu 5: Để tìm các phần tử của tập hợp \( A = \{ x \in \mathbb{N} | x \) là ước chung của 36 và 120\}, chúng ta cần tìm các số tự nhiên mà cả 36 và 120 đều chia hết cho. 1. Tìm các ước của 36: - Các ước của 36 là: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. 2. Tìm các ước của 120: - Các ước của 120 là: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120. 3. Tìm các ước chung của 36 và 120: - Các ước chung của 36 và 120 là: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Vậy tập hợp \( A \) là: \[ A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \] Đáp án đúng là: \[ A.~A=\{1;2;3;4;6;12\} \] Câu 6: Để tìm các phần tử của tập hợp \( A = \{ k^2 + 1 | k \in \mathbb{Z}, |k| \leq 2 \} \), chúng ta sẽ lần lượt thay các giá trị của \( k \) vào biểu thức \( k^2 + 1 \). - Khi \( k = -2 \): \[ (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \] - Khi \( k = -1 \): \[ (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \] - Khi \( k = 0 \): \[ 0^2 + 1 = 0 + 1 = 1 \] - Khi \( k = 1 \): \[ 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \] - Khi \( k = 2 \): \[ 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5 \] Như vậy, các giá trị của \( k^2 + 1 \) khi \( k \) lấy các giá trị từ \(-2\) đến \(2\) là \( 5, 2, 1, 2, 5 \). Khi loại bỏ các giá trị lặp lại, chúng ta có các phần tử duy nhất trong tập hợp \( A \) là \( 1, 2, 5 \). Do đó, tập hợp \( A \) có 3 phần tử. Đáp án đúng là: C. 3. Câu 7: Để xác định tập hợp nào trong các tập hợp trên là tập rỗng, chúng ta cần kiểm tra xem mỗi tập hợp có chứa phần tử hay không. A. \( A = \{\emptyset\} \) - Tập hợp này chứa một phần tử là \(\emptyset\), do đó nó không phải là tập rỗng. B. \( B = \{x \in \mathbb{N} | (3x - 2)(3x^2 + 4x + 1) = 0\} \) - Ta cần giải phương trình \((3x - 2)(3x^2 + 4x + 1) = 0\). - Phương trình này sẽ bằng 0 nếu ít nhất một trong hai thừa số bằng 0. - Xét \(3x - 2 = 0\): \[ 3x - 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3} \] Nhưng \(\frac{2}{3}\) không thuộc tập hợp số tự nhiên \(\mathbb{N}\). - Xét \(3x^2 + 4x + 1 = 0\): \[ 3x^2 + 4x + 1 = 0 \] Đây là một phương trình bậc hai, nhưng chúng ta không cần giải chi tiết vì mục tiêu là kiểm tra xem có nghiệm nào thuộc \(\mathbb{N}\) hay không. Các nghiệm của phương trình này sẽ là số hữu tỉ hoặc số vô tỉ, nhưng không phải số tự nhiên. Do đó, tập hợp \(B\) không chứa bất kỳ phần tử nào thuộc \(\mathbb{N}\), nên \(B\) là tập rỗng. C. \( C = \{x \in \mathbb{Z} | (3x - 2)(3x^2 + 4x + 1) = 0\} \) - Tương tự như trên, ta xét \(3x - 2 = 0\): \[ 3x - 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3} \] Nhưng \(\frac{2}{3}\) không thuộc tập hợp số nguyên \(\mathbb{Z}\). - Xét \(3x^2 + 4x + 1 = 0\): \[ 3x^2 + 4x + 1 = 0 \] Cũng tương tự, các nghiệm của phương trình này sẽ là số hữu tỉ hoặc số vô tỉ, nhưng không phải số nguyên. Do đó, tập hợp \(C\) không chứa bất kỳ phần tử nào thuộc \(\mathbb{Z}\), nên \(C\) là tập rỗng. D. \( D = \{x \in \mathbb{Q} | (3x - 2)(3x^2 + 4x + 1) = 0\} \) - Ta đã biết rằng \(3x - 2 = 0\) cho nghiệm \(x = \frac{2}{3}\), và \(\frac{2}{3}\) thuộc tập hợp số hữu tỉ \(\mathbb{Q}\). Do đó, tập hợp \(D\) chứa ít nhất một phần tử, nên nó không phải là tập rỗng. Kết luận: - Tập hợp \(A\) không phải là tập rỗng. - Tập hợp \(B\) là tập rỗng. - Tập hợp \(C\) là tập rỗng. - Tập hợp \(D\) không phải là tập rỗng. Đáp án: Tập hợp \(B\) và \(C\) là tập rỗng. Câu 8: Để tìm số phần tử của tập $M = \{(x; y) | x, y \in \mathbb{N}$ và $x + y = 1\},$ chúng ta cần liệt kê tất cả các cặp $(x; y)$ thỏa mãn điều kiện $x + y = 1.$ - Nếu $x = 0,$ thì $y = 1.$ Vậy có cặp $(0; 1).$ - Nếu $x = 1,$ thì $y = 0.$ Vậy có cặp $(1; 0).$ Như vậy, tập $M$ có 2 phần tử là $(0; 1)$ và $(1; 0).$ Đáp án đúng là: C. 2. Câu 1: Để tìm các phần tử của tập hợp \( X = \{ x \in \mathbb{N} | x - 5 \leq -4x \} \), chúng ta sẽ giải bất đẳng thức \( x - 5 \leq -4x \). Bước 1: Viết lại bất đẳng thức: \[ x - 5 \leq -4x \] Bước 2: Chuyển tất cả các hạng tử chứa \( x \) về một vế: \[ x + 4x \leq 5 \] Bước 3: Kết hợp các hạng tử chứa \( x \): \[ 5x \leq 5 \] Bước 4: Vì \( x \) là số tự nhiên (\( x \in \mathbb{N} \)), chúng ta thử các giá trị của \( x \) từ nhỏ đến lớn: - Nếu \( x = 0 \): \[ 5 \cdot 0 \leq 5 \] \[ 0 \leq 5 \] (đúng) - Nếu \( x = 1 \): \[ 5 \cdot 1 \leq 5 \] \[ 5 \leq 5 \] (đúng) - Nếu \( x = 2 \): \[ 5 \cdot 2 \leq 5 \] \[ 10 \leq 5 \] (sai) Vậy các giá trị của \( x \) thỏa mãn bất đẳng thức là \( x = 0 \) và \( x = 1 \). Do đó, tập hợp \( X \) là: \[ X = \{ 0; 1 \} \] Đáp án đúng là: \[ A. \{ 0; 1 \} \] Câu 2: Để tìm các phần tử của tập hợp \( X = \{ x \in \mathbb{Z} \mid -5 < 2x + 1 < 3 \} \), chúng ta sẽ giải từng bước như sau: 1. Ta cần tìm các giá trị của \( x \) sao cho \( -5 < 2x + 1 < 3 \). 2. Trước tiên, ta sẽ tách biệt \( 2x + 1 \) thành hai bất đẳng thức: - \( -5 < 2x + 1 \) - \( 2x + 1 < 3 \) 3. Giải từng bất đẳng thức: - \( -5 < 2x + 1 \): \[ -5 - 1 < 2x \quad \text{(trừ cả hai vế cho 1)} \] \[ -6 < 2x \] \[ -3 < x \quad \text{(chia cả hai vế cho 2)} \] - \( 2x + 1 < 3 \): \[ 2x < 3 - 1 \quad \text{(trừ cả hai vế cho 1)} \] \[ 2x < 2 \] \[ x < 1 \quad \text{(chia cả hai vế cho 2)} \] 4. Kết hợp hai kết quả trên, ta có: \[ -3 < x < 1 \] 5. Các số nguyên \( x \) nằm trong khoảng này là: \[ x = -2, -1, 0 \] Vậy các phần tử của tập hợp \( X \) là: \[ X = \{-2, -1, 0\} \] Đáp án đúng là: \[ B. \{-2, -1, 0\} \] Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị của \( x \) sao cho biểu thức \((3x^2 - 7x + 4)(1 + x^2) = 0\). Biểu thức trên bằng 0 khi ít nhất một trong hai yếu tố bằng 0: 1. \(3x^2 - 7x + 4 = 0\) 2. \(1 + x^2 = 0\) Chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp: Trường hợp 1: \(3x^2 - 7x + 4 = 0\) Ta sẽ thử các giá trị nguyên đơn giản để xem có thỏa mãn phương trình này không. - Thử \(x = 1\): \[ 3(1)^2 - 7(1) + 4 = 3 - 7 + 4 = 0 \] Vậy \(x = 1\) là nghiệm. - Thử \(x = \frac{4}{3}\): \[ 3\left(\frac{4}{3}\right)^2 - 7\left(\frac{4}{3}\right) + 4 = 3\left(\frac{16}{9}\right) - \frac{28}{3} + 4 = \frac{48}{9} - \frac{84}{9} + \frac{36}{9} = \frac{48 - 84 + 36}{9} = 0 \] Vậy \(x = \frac{4}{3}\) cũng là nghiệm. Trường hợp 2: \(1 + x^2 = 0\) Phương trình này không có nghiệm thực vì \(x^2\) luôn lớn hơn hoặc bằng 0, do đó \(1 + x^2\) luôn lớn hơn 0. Vậy các nghiệm của phương trình \((3x^2 - 7x + 4)(1 + x^2) = 0\) là \(x = 1\) và \(x = \frac{4}{3}\). Do đó, tập hợp \(X\) là: \[ X = \left\{1, \frac{4}{3}\right\} \] Đáp án đúng là: \[ B.~\{1; \frac{4}{3}\} \] Câu 4: Để liệt kê các phần tử của tập hợp \( X = \{ n \in \mathbb{N} | n = 2k + 1,~k \in \mathbb{Z}, 0 \leq k \leq 4 \} \), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định giá trị của \( k \) trong khoảng từ 0 đến 4: - \( k = 0 \) - \( k = 1 \) - \( k = 2 \) - \( k = 3 \) - \( k = 4 \) 2. Thay từng giá trị của \( k \) vào công thức \( n = 2k + 1 \): - Khi \( k = 0 \): \( n = 2 \times 0 + 1 = 1 \) - Khi \( k = 1 \): \( n = 2 \times 1 + 1 = 3 \) - Khi \( k = 2 \): \( n = 2 \times 2 + 1 = 5 \) - Khi \( k = 3 \): \( n = 2 \times 3 + 1 = 7 \) - Khi \( k = 4 \): \( n = 2 \times 4 + 1 = 9 \) 3. Liệt kê các giá trị của \( n \) đã tìm được: - \( n = 1 \) - \( n = 3 \) - \( n = 5 \) - \( n = 7 \) - \( n = 9 \) Vậy tập hợp \( X \) bao gồm các phần tử: \( \{1, 3, 5, 7, 9\} \). Đáp án đúng là: \( C.~\{1;3;5;7;9\}. \) Câu 5: Để xác định tính chất đặc trưng của tập hợp \( X = \{-2; -1; 0; 1; 2; 3\} \), chúng ta cần kiểm tra các lựa chọn A và B. Lựa chọn A: \( \{x \in \mathbb{Z} | -2 \leq x \leq 3\} \) - Tập hợp này bao gồm tất cả các số nguyên từ -2 đến 3, tức là \(-2, -1, 0, 1, 2, 3\). Điều này khớp hoàn toàn với tập hợp \( X \). Lựa chọn B: \( \{x \in \mathbb{N} | -2 \leq x \leq 3\} \) - Tập hợp này chỉ bao gồm các số tự nhiên từ 0 đến 3, tức là \(0, 1, 2, 3\). Tập hợp này không bao gồm các số âm \(-2\) và \(-1\), do đó không khớp với tập hợp \( X \). Do đó, tính chất đặc trưng của tập hợp \( X \) là: \[ A.~\{x \in \mathbb{Z} | -2 \leq x \leq 3\} \] Đáp án: \( A.~\{x \in \mathbb{Z} | -2 \leq x \leq 3\} \)