chứng minh: + Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2. + Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích (xy) lớn nhất khi và chỉ khi x = y. + Trong tất cả các hình chữ nhật...

Chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng bất đẳng thức và định lý đã nêu. 1. Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2. Giả sử \( x \) là một số dương. Ta cần chứng minh: \[ x + \frac{1}{x} \geq 2 \] Đặt \( f(x) = x + \frac{1}{x} \). Ta có: \[ f(x) - 2 = x + \frac{1}{x} - 2 = \frac{x^2 - 2x + 1}{x} = \frac{(x-1)^2}{x} \] Vì \( x > 0 \), nên \( \frac{(x-1)^2}{x} \geq 0 \). Do đó, \( f(x) \geq 2 \). Dấu "=" xảy ra khi \( (x-1)^2 = 0 \), tức là \( x = 1 \). 2. Nếu \( x, y \) cùng dương và có tổng không đổi thì tích \( xy \) lớn nhất khi và chỉ khi \( x = y \). Giả sử \( x + y = k \) với \( k \) là hằng số dương. Ta cần chứng minh: \[ xy \leq \left(\frac{k}{2}\right)^2 \] Sử dụng bất đẳng thức Cauchy: \[ \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 \geq xy \] Thay \( x + y = k \) vào, ta có: \[ \left(\frac{k}{2}\right)^2 \geq xy \] Dấu "=" xảy ra khi \( x = y = \frac{k}{2} \). 3. Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. Giả sử hình chữ nhật có chiều dài \( a \) và chiều rộng \( b \) với chu vi không đổi là \( 2(a + b) = C \). Ta cần chứng minh diện tích \( S = ab \) lớn nhất khi \( a = b \). Từ \( a + b = \frac{C}{2} \), sử dụng bất đẳng thức Cauchy: \[ \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \geq ab \] Thay \( a + b = \frac{C}{2} \) vào, ta có: \[ \left(\frac{C}{4}\right)^2 \geq ab \] Dấu "=" xảy ra khi \( a = b \), tức là hình chữ nhật trở thành hình vuông. 4. Nếu \( x, y \) cùng dương và có tích không đổi thì tổng \( x + y \) nhỏ nhất khi và chỉ khi \( x = y \). Giả sử \( xy = k \) với \( k \) là hằng số dương. Ta cần chứng minh: \[ x + y \geq 2\sqrt{k} \] Sử dụng bất đẳng thức Cauchy: \[ x + y \geq 2\sqrt{xy} \] Thay \( xy = k \) vào, ta có: \[ x + y \geq 2\sqrt{k} \] Dấu "=" xảy ra khi \( x = y = \sqrt{k} \). Như vậy, chúng ta đã chứng minh được các bất đẳng thức và định lý đã nêu.