Giải hộ mình câu này với các bạn Bài 4 (3,5 điểm) Cho $\Delta ABC,$ trực tâm H. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc,với AC tại C cắt nhau ở D. Chứng minh rằng:,a) BDCH là hình bình hành,$b)~\widehat{BAC}+\widehat{BHC}=180^0$,c) H, M, D thẳng hàng (M là trung điểm của BC).

Question

Accepted Answer

Bài 4:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh BDCH là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối song song với nhau.

1. Xét $	riangle ABC$ với trực tâm H, ta có:
   - $BH \perp AC$ (vì H là trực tâm)
   - $CH \perp AB$ (vì H là trực tâm)

2. Theo giả thiết, đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $B$ và đường thẳng vuông góc với $AC$ tại $C$ cắt nhau tại $D$. Do đó:
   - $BD \perp AB$ và $CD \perp AC$

3. Từ đó, ta có:
   - $BD \parallel CH$ (vì cả hai đều vuông góc với $AB$)
   - $CD \parallel BH$ (vì cả hai đều vuông góc với $AC$)

Vậy, tứ giác BDCH có hai cặp cạnh đối song song, nên BDCH là hình bình hành.

b) Chứng minh $\widehat{BAC} + \widehat{BHC} = 180^\circ$

1. Xét $	riangle ABC$ với trực tâm H, ta có:
   - $BH \perp AC$ và $CH \perp AB$

2. Trong $	riangle BHC$, ta có:
   - $\widehat{BHC} = 180^\circ - (\widehat{HBC} + \widehat{HCB})$

3. Do $BH \perp AC$ và $CH \perp AB$, ta có:
   - $\widehat{HBC} = \widehat{BAC}$ và $\widehat{HCB} = \widehat{ABC}$

4. Do đó:
   - $\widehat{BHC} = 180^\circ - (\widehat{BAC} + \widehat{ABC})$

5. Trong $	riangle ABC$, tổng ba góc bằng $180^\circ$, nên:
   - $\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180^\circ$

6. Thay vào phương trình của $\widehat{BHC}$, ta có:
   - $\widehat{BHC} = 180^\circ - (\widehat{BAC} + \widehat{ABC}) = \widehat{ACB}$

7. Vậy, $\widehat{BAC} + \widehat{BHC} = 180^\circ$.

c) Chứng minh H, M, D thẳng hàng (M là trung điểm của BC)

1. Gọi M là trung điểm của BC, ta có:
   - $BM = MC$

2. Trong hình bình hành BDCH, ta có:
   - $BD \parallel CH$ và $CD \parallel BH$

3. Do đó, đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Vậy, D là trung điểm của BH và CH.

4. Vì M là trung điểm của BC và D là trung điểm của BH, theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta có:
   - Đường thẳng MD là đường trung bình của tam giác BHC, do đó MD song song với HC và MD = $\frac{1}{2}HC$.

5. Từ đó, H, M, D thẳng hàng.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được cả ba phần của bài toán.