Giúp mình với!

Bài 4: a) Ta có: \(9^9 - 1 = 9^{9} - 1 = 9^{9} - 1^9\) Áp dụng hằng đẳng thức: \(a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + ... + ab^{n-2} + b^{n-1})\) Ta có: \(9^9 - 1 = (9 - 1)(9^8 + 9^7 + ... + 9 + 1)\) \(= 8(9^8 + 9^7 + ... + 9 + 1)\) Vì 8 và \(9^8 + 9^7 + ... + 9 + 1\) đều là các số nguyên nên \(9^9 - 1\) chia hết cho 8. Mặt khác, ta có: \(9^9 - 1 = (9^3)^3 - 1^3\) Áp dụng hằng đẳng thức: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\) Ta có: \(9^9 - 1 = (9^3 - 1)((9^3)^2 + 9^3 + 1)\) \(= (729 - 1)(729^2 + 729 + 1)\) \(= 728(729^2 + 729 + 1)\) Vì 728 chia hết cho 91 nên \(9^9 - 1\) chia hết cho 91. Vậy \(9^9 - 1\) chia hết cho 91. b) Ta có: \(8^9 + 1 = 8^9 + 1^9\) Áp dụng hằng đẳng thức: \(a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + ... - ab^{n-2} + b^{n-1})\) Ta có: \(8^9 + 1 = (8 + 1)(8^8 - 8^7 + ... - 8 + 1)\) \(= 9(8^8 - 8^7 + ... - 8 + 1)\) Vì 9 và \(8^8 - 8^7 + ... - 8 + 1\) đều là các số nguyên nên \(8^9 + 1\) chia hết cho 9. Mặt khác, ta có: \(8^9 + 1 = (8^3)^3 + 1^3\) Áp dụng hằng đẳng thức: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\) Ta có: \(8^9 + 1 = (8^3 + 1)((8^3)^2 - 8^3 + 1)\) \(= (512 + 1)(512^2 - 512 + 1)\) \(= 513(512^2 - 512 + 1)\) Vì 513 chia hết cho 57 nên \(8^9 + 1\) chia hết cho 57. Vậy \(8^9 + 1\) chia hết cho 57. Bài 5: Ta có $xy-5x=7$ $\Leftrightarrow x(y-5)=7.$ Do $x,y\in Z$ nên $x$ và $y-5$ là các ước của 7. Ta có bảng sau: \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 1 & -1 & 7 & -7 \\ \hline y-5 & 7 & -7 & 1 & -1 \\ \hline y & 12 & -2 & 6 & 4 \\ \hline \end{array} Vậy $(x,y)=(1,12);(-1,-2);(7,6);(-7,4).$ Bài 1: a) \( x^3 - 2x^2 + x \) Ta thấy tất cả các hạng tử đều có \( x \) làm nhân tử chung, do đó ta có thể nhóm chúng lại: \[ x(x^2 - 2x + 1) \] Tiếp theo, ta nhận thấy \( x^2 - 2x + 1 \) là một hằng đẳng thức đáng nhớ, cụ thể là bình phương của một hiệu: \[ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \] Do đó, ta có: \[ x(x - 1)^2 \] Vậy, đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử là: \[ x(x - 1)^2 \] b) \( 2x^2 + 4x + 2 - 2y^2 \) Ta nhóm các hạng tử có liên quan đến \( x \) và \( y \): \[ 2(x^2 + 2x + 1) - 2y^2 \] Nhận thấy \( x^2 + 2x + 1 \) là một hằng đẳng thức đáng nhớ, cụ thể là bình phương của một tổng: \[ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \] Do đó, ta có: \[ 2(x + 1)^2 - 2y^2 \] Tiếp theo, ta thấy đây là một hiệu của hai bình phương: \[ 2[(x + 1)^2 - y^2] \] Áp dụng hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương: \[ (x + 1)^2 - y^2 = (x + 1 - y)(x + 1 + y) \] Do đó, ta có: \[ 2(x + 1 - y)(x + 1 + y) \] Vậy, đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử là: \[ 2(x + 1 - y)(x + 1 + y) \] c) \( x^3 + 2x^2y + xy^2 - 9x \) Ta nhóm các hạng tử có liên quan đến \( x \): \[ x(x^2 + 2xy + y^2) - 9x \] Nhận thấy \( x^2 + 2xy + y^2 \) là một hằng đẳng thức đáng nhớ, cụ thể là bình phương của một tổng: \[ x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 \] Do đó, ta có: \[ x(x + y)^2 - 9x \] Ta thấy \( x \) là nhân tử chung, do đó ta có thể nhóm chúng lại: \[ x[(x + y)^2 - 9] \] Tiếp theo, ta thấy đây là một hiệu của hai bình phương: \[ (x + y)^2 - 9 = (x + y)^2 - 3^2 \] Áp dụng hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương: \[ (x + y)^2 - 3^2 = (x + y - 3)(x + y + 3) \] Do đó, ta có: \[ x(x + y - 3)(x + y + 3) \] Vậy, đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử là: \[ x(x + y - 3)(x + y + 3) \] d) \( x^2 + 5x - 6 \) Ta tìm hai số \( p \) và \( q \) sao cho: \[ pq = -6 \] \[ p + q = 5 \] Ta thử các cặp số: - \( p = 6 \) và \( q = -1 \): \( 6 \times (-1) = -6 \) và \( 6 + (-1) = 5 \) Do đó, ta có: \[ x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1) \] Vậy, đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử là: \[ (x + 6)(x - 1) \] Bài 2: a) \(5x^2 - 7x = 0\) Ta có thể tách thành nhân tử chung: \[ x(5x - 7) = 0 \] Phương trình này sẽ thỏa mãn nếu một trong hai nhân tử bằng 0: \[ x = 0 \] hoặc \[ 5x - 7 = 0 \] \[ 5x = 7 \] \[ x = \frac{7}{5} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 0 \text{ hoặc } x = \frac{7}{5} \] b) \(x(x - 5) - 3x + 15 = 0\) Đầu tiên, ta mở ngoặc và nhóm lại: \[ x^2 - 5x - 3x + 15 = 0 \] \[ x^2 - 8x + 15 = 0 \] Tiếp theo, ta tách thành nhân tử: \[ x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5) = 0 \] Phương trình này sẽ thỏa mãn nếu một trong hai nhân tử bằng 0: \[ x - 3 = 0 \] \[ x = 3 \] hoặc \[ x - 5 = 0 \] \[ x = 5 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 3 \text{ hoặc } x = 5 \] c) \(3x^4 - 30x^3 + 75x^2 = 0\) Đầu tiên, ta tách thành nhân tử chung: \[ 3x^2(x^2 - 10x + 25) = 0 \] Tiếp theo, ta tách thành nhân tử: \[ 3x^2(x - 5)^2 = 0 \] Phương trình này sẽ thỏa mãn nếu một trong hai nhân tử bằng 0: \[ 3x^2 = 0 \] \[ x^2 = 0 \] \[ x = 0 \] hoặc \[ (x - 5)^2 = 0 \] \[ x - 5 = 0 \] \[ x = 5 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 5 \] d) \(x^2 - x - 20 = 0\) Ta tách thành nhân tử: \[ x^2 - x - 20 = (x - 5)(x + 4) = 0 \] Phương trình này sẽ thỏa mãn nếu một trong hai nhân tử bằng 0: \[ x - 5 = 0 \] \[ x = 5 \] hoặc \[ x + 4 = 0 \] \[ x = -4 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 5 \text{ hoặc } x = -4 \]