Cho hình bình hành ABCD, các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho AE = EF = FC. Gọi M là giao điểm của BF và CD. Gọi N là giao điểm của DE và AB. a) CMR: M, N thứ tự là trung điểm của CD và AB. b) CMR...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh M, N lần lượt là trung điểm của CD và AB. 1. Chứng minh M là trung điểm của CD: - Vì E, F là các điểm trên đường chéo AC của hình bình hành ABCD và AE = EF = FC, nên E và F chia AC thành ba đoạn bằng nhau. - Do đó, F là trung điểm của đoạn EC. - Trong hình bình hành, đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Do đó, điểm O (giao điểm của AC và BD) là trung điểm của AC và BD. - Vì F là trung điểm của EC và O là trung điểm của AC, nên BF là đường trung bình của tam giác ECD. - Do đó, BF cắt CD tại trung điểm M của CD. 2. Chứng minh N là trung điểm của AB: - Tương tự, vì E là trung điểm của AF (do AE = EF), và O là trung điểm của AC, nên DE là đường trung bình của tam giác AFB. - Do đó, DE cắt AB tại trung điểm N của AB. b) Chứng minh tứ giác EMFN là hình bình hành: 1. Chứng minh EM // FN: - Vì M là trung điểm của CD và N là trung điểm của AB, nên MN là đường trung bình của hình bình hành ABCD. - Do đó, MN // AD và MN = $\frac{1}{2}$ AD. 2. Chứng minh EN // MF: - Tương tự, vì E là trung điểm của AF và F là trung điểm của EC, nên EF là đường trung bình của tam giác AFB. - Do đó, EF // AB và EF = $\frac{1}{2}$ AB. 3. Kết luận: - Từ hai cặp đường song song EM // FN và EN // MF, ta suy ra tứ giác EMFN là hình bình hành. Như vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.