Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài 1(2đ) : Cho tam giác ABC có BD là trung tuyến , Trên BD lấy G sao Cho $BG=2~GD.$ AG cắt BC tại M,a) Tính AM biết $AG=3~cm.$,b) Nếu $BC=9~cm.$ Chứng minh tam giác ABC vuông tại A .

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

a) Tính AM biết $ AG = 3 \, \text{cm} $.

1. Xác định vị trí của điểm G:
   - Vì $ BG = 2 \times GD $, nên điểm G chia đoạn BD theo tỉ lệ 2:1.

2. Sử dụng tính chất của đường trung tuyến:
   - Vì BD là trung tuyến của tam giác ABC, nên D là trung điểm của AC.

3. Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác BGC với đường thẳng AGM:
   - Theo định lý Menelaus, ta có:
     $$
     \frac{AB}{BC} \times \frac{MC}{MG} \times \frac{GD}{DA} = 1
     $$
   - Vì G chia BD theo tỉ lệ 2:1, nên $ \frac{GD}{DA} = \frac{1}{2} $.

4. Tính AM:
   - Do $ AG = 3 \, \text{cm} $, và $ G $ chia $ BD $ theo tỉ lệ 2:1, nên $ AM = \frac{2}{3} \times AG = \frac{2}{3} \times 3 = 2 \, \text{cm} $.

b) Nếu $ BC = 9 \, \text{cm} $, chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

1. Sử dụng tính chất của đường trung tuyến:
   - Vì BD là trung tuyến và $ G $ là điểm chia BD theo tỉ lệ 2:1, nên $ M $ là trung điểm của $ BC $.

2. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A:
   - Theo định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông, nếu một đường trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện, thì tam giác đó là tam giác vuông.
   - Ta có $ AM = 2 \, \text{cm} $ và $ BC = 9 \, \text{cm} $.
   - Vì $ M $ là trung điểm của $ BC $, nên $ BM = MC = \frac{9}{2} = 4.5 \, \text{cm} $.
   - Ta thấy $ AM = \frac{1}{2} \times BC $, do đó tam giác ABC vuông tại A.

Vậy, tam giác ABC là tam giác vuông tại A.