Nội dung bài toán là: "Cho quỹ đạo $r$ hơi dưới tác dụng trường xuyên tâm có quỹ đạo là xoắn ốc có bán kính phụ thuộc vào $\theta$ là $R = k\theta^2$, $k = const$. Tìm biểu thức tác dụng (lực) xuyên tâ...

Bài toán: Cho quỹ đạo của vật chuyển động trong mặt phẳng dưới tác dụng lực xuyên tâm, quỹ đạo là xoắn ốc với bán kính phụ thuộc vào góc \(\theta\) theo công thức: \[ R = k \theta^2, \quad k = \text{hằng số} \] Yêu cầu: Tìm biểu thức lực xuyên tâm tác dụng lên vật. --- **Giải:** 1. **Phân tích bài toán:** Vật chuyển động trên quỹ đạo xoắn ốc với bán kính \(R\) thay đổi theo \(\theta\) như: \[ R = k \theta^2 \] Chuyển động trong mặt phẳng, hệ tọa độ cực \((R, \theta)\). 2. **Công thức vận tốc và gia tốc trong tọa độ cực:** - Vận tốc: \[ \vec{v} = \dot{R} \hat{e}_r + R \dot{\theta} \hat{e}_\theta \] - Gia tốc: \[ \vec{a} = (\ddot{R} - R \dot{\theta}^2) \hat{e}_r + (R \ddot{\theta} + 2 \dot{R} \dot{\theta}) \hat{e}_\theta \] 3. **Tính các đạo hàm cần thiết:** Ta có \(R = k \theta^2\). Vì \(\theta = \theta(t)\), nên theo đạo hàm theo thời gian: \[ \dot{R} = \frac{dR}{dt} = \frac{dR}{d\theta} \cdot \dot{\theta} = 2k \theta \dot{\theta} \] \[ \ddot{R} = \frac{d}{dt}(\dot{R}) = \frac{d}{dt}(2k \theta \dot{\theta}) = 2k (\dot{\theta} \dot{\theta} + \theta \ddot{\theta}) = 2k (\dot{\theta}^2 + \theta \ddot{\theta}) \] 4. **Áp dụng điều kiện quỹ đạo:** Quỹ đạo của vật là đã biết, do đó vị trí \(R(t), \theta(t)\) phải thỏa mãn. 5. **Điều kiện chuyển động dưới lực xuyên tâm:** Lực xuyên tâm chỉ có thành phần hướng tâm, tức là chỉ có thành phần theo \(\hat{e}_r\). Vì vậy thành phần theo \(\hat{e}_\theta\) của gia tốc phải bằng 0, vì nếu có lực phương ngang thì không phải lực xuyên tâm. Do đó: \[ a_\theta = R \ddot{\theta} + 2 \dot{R} \dot{\theta} = 0 \] Thay vào: \[ k \theta^2 \ddot{\theta} + 2 \cdot (2k \theta \dot{\theta}) \dot{\theta} = 0 \] \[ k \theta^2 \ddot{\theta} + 4k \theta \dot{\theta}^2 = 0 \] Chia cả hai vế cho \(k \theta\) (với \(\theta \neq 0\)): \[ \theta \ddot{\theta} + 4 \dot{\theta}^2 = 0 \] 6. **Giải phương trình vi phân cho \(\theta(t)\):** Đặt \(\dot{\theta} = \omega\), \(\ddot{\theta} = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d\omega}{d\theta} \cdot \dot{\theta} = \omega \frac{d\omega}{d\theta}\). Thay vào: \[ \theta \cdot \omega \frac{d\omega}{d\theta} + 4 \omega^2 = 0 \] Chia cả hai vế cho \(\omega\) (với \(\omega \neq 0\)): \[ \theta \frac{d\omega}{d\theta} + 4 \omega = 0 \] Đây là phương trình vi phân thường bậc nhất đối với \(\omega(\theta)\): \[ \theta \frac{d\omega}{d\theta} = -4 \omega \] Viết lại: \[ \frac{d\omega}{d\theta} = -\frac{4}{\theta} \omega \] Phương trình này có nghiệm: \[ \frac{d\omega}{\omega} = -4 \frac{d\theta}{\theta} \] Tích phân hai vế: \[ \ln |\omega| = -4 \ln |\theta| + C \] \[ |\omega| = C' \theta^{-4} \] \[ \Rightarrow \dot{\theta} = \omega = \frac{C_1}{\theta^4} \] 7. **Biểu thức gia tốc hướng tâm \(a_r\):** Gia tốc hướng tâm là: \[ a_r = \ddot{R} - R \dot{\theta}^2 \] Thay các giá trị: \[ \ddot{R} = 2k(\dot{\theta}^2 + \theta \ddot{\theta}) \] Ta có \(\dot{\theta} = C_1 \theta^{-4}\), suy ra: \[ \dot{\theta}^2 = C_1^2 \theta^{-8} \] Tính \(\ddot{\theta}\): \[ \ddot{\theta} = \frac{d\dot{\theta}}{dt} = \frac{d}{dt}(C_1 \theta^{-4}) = C_1 (-4) \theta^{-5} \dot{\theta} = -4 C_1 \theta^{-5} \cdot \frac{C_1}{\theta^4} = -4 C_1^2 \theta^{-9} \] Thay vào \(\ddot{R}\): \[ \ddot{R} = 2k \left( C_1^2 \theta^{-8} + \theta \cdot (-4 C_1^2 \theta^{-9}) \right) = 2k \left( C_1^2 \theta^{-8} - 4 C_1^2 \theta^{-8} \right) = 2k (-3 C_1^2 \theta^{-8}) = -6k C_1^2 \theta^{-8} \] Bây giờ tính \(R \dot{\theta}^2\): \[ R \dot{\theta}^2 = k \theta^2 \cdot C_1^2 \theta^{-8} = k C_1^2 \theta^{-6} \] Vậy gia tốc hướng tâm: \[ a_r = \ddot{R} - R \dot{\theta}^2 = -6k C_1^2 \theta^{-8} - k C_1^2 \theta^{-6} = k C_1^2 \theta^{-8} (-6 - \theta^2) \] Viết lại: \[ a_r = - k C_1^2 \theta^{-8} (\theta^2 + 6) \] 8. **Lực xuyên tâm \(F_r\):** Lực xuyên tâm tác dụng lên vật là: \[ F_r = m a_r = - m k C_1^2 \theta^{-8} (\theta^2 + 6) \] --- **Kết luận:** - Biểu thức vận tốc góc \(\dot{\theta} = \frac{C_1}{\theta^4}\). - Gia tốc hướng tâm: \[ a_r = - k C_1^2 \theta^{-8} (\theta^2 + 6) \] - Lực xuyên tâm: \[ \boxed{F_r = - m k C_1^2 \frac{\theta^2 + 6}{\theta^{8}}} \] Trong đó, \(C_1\) là hằng số phụ thuộc điều kiện ban đầu chuyển động. --- **Chú ý:** Dấu âm của lực hướng tâm biểu thị lực có chiều hướng về tâm, phù hợp với lực xuyên tâm.