Giúp va S Mm Nn

Bài 1: Để rút gọn các biểu thức trên, chúng ta sẽ sử dụng các phép toán cơ bản như cộng, trừ và không sử dụng phép nhân, phép chia. Đồng thời, chúng ta cũng không sử dụng biểu diễn số thập phân, phân số và không sử dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc đối với bài toán thực hiện phép tính. a) $(3x + 2y)^2 - (3x - 2y)^2$ Chúng ta sẽ mở rộng các biểu thức bình phương: $(3x + 2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2$ $(3x - 2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$ Bây giờ, chúng ta sẽ trừ hai biểu thức này: $(3x + 2y)^2 - (3x - 2y)^2 = (9x^2 + 12xy + 4y^2) - (9x^2 - 12xy + 4y^2)$ $= 9x^2 + 12xy + 4y^2 - 9x^2 + 12xy - 4y^2$ $= 24xy$ b) $(x + 1)(x^2 - x + 1) - (x^3 + 1)(x + 2y)^2 - (x - 2y)^2$ Chúng ta sẽ mở rộng các biểu thức: $(x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1 = x^3 + 1$ $(x + 2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$ $(x - 2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$ Bây giờ, chúng ta sẽ trừ các biểu thức này: $(x + 1)(x^2 - x + 1) - (x^3 + 1)(x + 2y)^2 - (x - 2y)^2 = (x^3 + 1) - (x^3 + 1)(x^2 + 4xy + 4y^2) - (x^2 - 4xy + 4y^2)$ $= x^3 + 1 - x^3 - 4x^2y - 4xy^2 - x^2 + 4xy - 4y^2$ $= 1 - 4x^2y - 4xy^2 - x^2 + 4xy - 4y^2$ c) $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - x^3$ Chúng ta sẽ mở rộng các biểu thức: $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 - 2x^2 + 4x + 2x^2 - 4x + 8 = x^3 + 8$ Bây giờ, chúng ta sẽ trừ các biểu thức này: $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - x^3 = (x^3 + 8) - x^3$ $= 8$ d) $(2x + 3)^2 + (2x - 3)^2 + 2(1 - 2x)(2x + 1)$ Chúng ta sẽ mở rộng các biểu thức: $(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$ $(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$ $2(1 - 2x)(2x + 1) = 2(2x + 1 - 4x^2 - 2x) = 2(-4x^2 + 1) = -8x^2 + 2$ Bây giờ, chúng ta sẽ cộng các biểu thức này: $(2x + 3)^2 + (2x - 3)^2 + 2(1 - 2x)(2x + 1) = (4x^2 + 12x + 9) + (4x^2 - 12x + 9) + (-8x^2 + 2)$ $= 4x^2 + 12x + 9 + 4x^2 - 12x + 9 - 8x^2 + 2$ $= 20$ e) $(x - 2)^3 - (x + 2)(x^2 - 2x + 4) + 3(x - 2)(x + 2)$ Chúng ta sẽ mở rộng các biểu thức: $(x - 2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 - 2x^2 + 4x + 2x^2 - 4x + 8 = x^3 + 8$ $3(x - 2)(x + 2) = 3(x^2 - 4) = 3x^2 - 12$ Bây giờ, chúng ta sẽ trừ và cộng các biểu thức này: $(x - 2)^3 - (x + 2)(x^2 - 2x + 4) + 3(x - 2)(x + 2) = (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) - (x^3 + 8) + (3x^2 - 12)$ $= x^3 - 6x^2 + 12x - 8 - x^3 - 8 + 3x^2 - 12$ $= -3x^2 + 12x - 28$ f) $(x - 1)^3 - (x + 2)(x^2 - 2x + 4) + 3(x - 1)(x + 1)$ Chúng ta sẽ mở rộng các biểu thức: $(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 - 2x^2 + 4x + 2x^2 - 4x + 8 = x^3 + 8$ $3(x - 1)(x + 1) = 3(x^2 - 1) = 3x^2 - 3$ Bây giờ, chúng ta sẽ trừ và cộng các biểu thức này: $(x - 1)^3 - (x + 2)(x^2 - 2x + 4) + 3(x - 1)(x + 1) = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - (x^3 + 8) + (3x^2 - 3)$ $= x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^3 - 8 + 3x^2 - 3$ $= 3x - 12$ Đáp số: a) $24xy$ b) $1 - 4x^2y - 4xy^2 - x^2 + 4xy - 4y^2$ c) $8$ d) $20$ e) $-3x^2 + 12x - 28$ f) $3x - 12$ Bài 2: Để phân tích các đa thức thành nhân tử, chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp cơ bản như hằng đẳng thức đáng nhớ, nhóm hạng tử, và các kỹ thuật đơn giản khác. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần: a) $(2x + 3)^2 - y^2$ Chúng ta nhận thấy rằng đây là dạng hiệu của hai bình phương: \[ A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \] Áp dụng vào bài toán: \[ (2x + 3)^2 - y^2 = [(2x + 3) - y][(2x + 3) + y] \] \[ = (2x + 3 - y)(2x + 3 + y) \] b) $(x - 1)^3 - 27$ Chúng ta nhận thấy rằng đây là dạng hiệu của hai lập phương: \[ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) \] Áp dụng vào bài toán: \[ (x - 1)^3 - 27 = (x - 1)^3 - 3^3 \] \[ = [(x - 1) - 3][(x - 1)^2 + (x - 1) \cdot 3 + 3^2] \] \[ = (x - 1 - 3)[(x - 1)^2 + 3(x - 1) + 9] \] \[ = (x - 4)[(x - 1)^2 + 3(x - 1) + 9] \] c) $x^2 - 4x - 4y^2 + 4$ Chúng ta nhóm các hạng tử để tạo ra các hằng đẳng thức: \[ x^2 - 4x + 4 - 4y^2 \] \[ = (x - 2)^2 - (2y)^2 \] Áp dụng hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương: \[ (x - 2)^2 - (2y)^2 = [(x - 2) - 2y][(x - 2) + 2y] \] \[ = (x - 2 - 2y)(x - 2 + 2y) \] d) $(2x - 3)^2 - (x + 2)^2$ Chúng ta nhận thấy rằng đây là dạng hiệu của hai bình phương: \[ A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \] Áp dụng vào bài toán: \[ (2x - 3)^2 - (x + 2)^2 = [(2x - 3) - (x + 2)][(2x - 3) + (x + 2)] \] \[ = (2x - 3 - x - 2)(2x - 3 + x + 2) \] \[ = (x - 5)(3x - 1) \] e) $x^2 - x + 2y - 4y^2$ Chúng ta nhóm các hạng tử để tạo ra các hằng đẳng thức: \[ x^2 - x + 2y - 4y^2 \] \[ = x(x - 1) + 2y(1 - 2y) \] f) $x^3 - 2x^2 + x$ Chúng ta nhóm các hạng tử để tạo ra các nhân tử chung: \[ x(x^2 - 2x + 1) \] \[ = x(x - 1)^2 \] g) $2x^2 + 4x + 2 - 2y^2$ Chúng ta nhóm các hạng tử để tạo ra các hằng đẳng thức: \[ 2(x^2 + 2x + 1) - 2y^2 \] \[ = 2[(x + 1)^2 - y^2] \] Áp dụng hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương: \[ 2[(x + 1)^2 - y^2] = 2[(x + 1) - y][(x + 1) + y] \] \[ = 2(x + 1 - y)(x + 1 + y) \] Như vậy, chúng ta đã phân tích tất cả các đa thức thành nhân tử theo yêu cầu. Bài 3: Để giải các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các phép toán cơ bản và không sử dụng các phương pháp phức tạp như phương trình hay biến số. Chúng ta sẽ giải từng bài toán một cách đơn giản và dễ hiểu. a) $(2x-3)^2-(x+2)^2=0$ Chúng ta sẽ mở rộng các biểu thức bình phương và sau đó giải phương trình. 1. Mở rộng các biểu thức bình phương: \[ (2x-3)^2 = 4x^2 - 12x + 9 \] \[ (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \] 2. Thay vào phương trình ban đầu: \[ 4x^2 - 12x + 9 - (x^2 + 4x + 4) = 0 \] 3. Đơn giản hóa phương trình: \[ 4x^2 - 12x + 9 - x^2 - 4x - 4 = 0 \] \[ 3x^2 - 16x + 5 = 0 \] 4. Giải phương trình bậc hai: \[ 3x^2 - 16x + 5 = 0 \] Ta thử các giá trị nhỏ của \(x\) để tìm nghiệm: - Nếu \(x = 1\): \[ 3(1)^2 - 16(1) + 5 = 3 - 16 + 5 = -8 \neq 0 \] - Nếu \(x = 5\): \[ 3(5)^2 - 16(5) + 5 = 75 - 80 + 5 = 0 \] Vậy \(x = 5\) là nghiệm. b) \(x^3 - 4x^2 + 4x = 0\) 1. Nhân tử chung \(x\): \[ x(x^2 - 4x + 4) = 0 \] 2. Giải phương trình: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 4x + 4 = 0 \] 3. Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 4x + 4 = 0 \] Ta thấy rằng: \[ (x-2)^2 = 0 \] Vậy \(x = 2\). 4. Kết quả: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] c) \(x^2 - (x+2)^2 = 0\) 1. Mở rộng biểu thức bình phương: \[ (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \] 2. Thay vào phương trình ban đầu: \[ x^2 - (x^2 + 4x + 4) = 0 \] 3. Đơn giản hóa phương trình: \[ x^2 - x^2 - 4x - 4 = 0 \] \[ -4x - 4 = 0 \] 4. Giải phương trình: \[ -4x = 4 \] \[ x = -1 \] d) \(x^3 - 4x = 0\) 1. Nhân tử chung \(x\): \[ x(x^2 - 4) = 0 \] 2. Giải phương trình: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 4 = 0 \] 3. Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 4 = 0 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] 4. Kết quả: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] e) \(x^2 - 3x + 2 = 0\) 1. Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Ta thử các giá trị nhỏ của \(x\) để tìm nghiệm: - Nếu \(x = 1\): \[ 1^2 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] - Nếu \(x = 2\): \[ 2^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0 \] Vậy \(x = 1\) hoặc \(x = 2\) là nghiệm. f) \(x^2 - 5x + 6 = 0\) 1. Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] Ta thử các giá trị nhỏ của \(x\) để tìm nghiệm: - Nếu \(x = 2\): \[ 2^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 \] - Nếu \(x = 3\): \[ 3^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 \] Vậy \(x = 2\) hoặc \(x = 3\) là nghiệm. g) \(2x(x+3) - 3x - 9 = 0\) 1. Mở rộng và đơn giản hóa: \[ 2x^2 + 6x - 3x - 9 = 0 \] \[ 2x^2 + 3x - 9 = 0 \] 2. Giải phương trình bậc hai: \[ 2x^2 + 3x - 9 = 0 \] Ta thử các giá trị nhỏ của \(x\) để tìm nghiệm: - Nếu \(x = 1\): \[ 2(1)^2 + 3(1) - 9 = 2 + 3 - 9 = -4 \neq 0 \] - Nếu \(x = 3\): \[ 2(3)^2 + 3(3) - 9 = 18 + 9 - 9 = 18 \neq 0 \] - Nếu \(x = -3\): \[ 2(-3)^2 + 3(-3) - 9 = 18 - 9 - 9 = 0 \] Vậy \(x = -3\) là nghiệm. Kết quả cuối cùng cho tất cả các bài toán đã được trình bày chi tiết ở trên. Bài 4: Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các biểu thức $A = 2x^2 - 4x + 5$ và $A = x^2 - 3x + 1$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương (completing the square). a) Tìm GTNN của biểu thức $A = 2x^2 - 4x + 5$ 1. Ta viết lại biểu thức dưới dạng hoàn chỉnh bình phương: \[ A = 2(x^2 - 2x) + 5 \] 2. Để hoàn chỉnh bình phương trong ngoặc, ta thêm và bớt $1$: \[ A = 2[(x^2 - 2x + 1) - 1] + 5 \] \[ A = 2[(x - 1)^2 - 1] + 5 \] 3. Phân phối $2$ vào trong ngoặc: \[ A = 2(x - 1)^2 - 2 + 5 \] \[ A = 2(x - 1)^2 + 3 \] 4. Vì $(x - 1)^2 \geq 0$ với mọi $x$, nên $2(x - 1)^2 \geq 0$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của $2(x - 1)^2$ là $0$ khi $x = 1$. 5. Thay $x = 1$ vào biểu thức: \[ A = 2(1 - 1)^2 + 3 = 2 \cdot 0 + 3 = 3 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của $A = 2x^2 - 4x + 5$ là $3$ khi $x = 1$. b) Tìm GTNN của biểu thức $A = x^2 - 3x + 1$ 1. Ta viết lại biểu thức dưới dạng hoàn chỉnh bình phương: \[ A = x^2 - 3x + 1 \] 2. Để hoàn chỉnh bình phương trong ngoặc, ta thêm và bớt $\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$: \[ A = \left(x^2 - 3x + \frac{9}{4}\right) - \frac{9}{4} + 1 \] \[ A = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} + 1 \] 3. Đơn giản hóa hằng số: \[ A = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{5}{4} \] 4. Vì $\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 \geq 0$ với mọi $x$, nên giá trị nhỏ nhất của $\left(x - \frac{3}{2}\right)^2$ là $0$ khi $x = \frac{3}{2}$. 5. Thay $x = \frac{3}{2}$ vào biểu thức: \[ A = \left(\frac{3}{2} - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{5}{4} = 0 - \frac{5}{4} = -\frac{5}{4} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của $A = x^2 - 3x + 1$ là $-\frac{5}{4}$ khi $x = \frac{3}{2}$. Tóm tắt kết quả: - Giá trị nhỏ nhất của $A = 2x^2 - 4x + 5$ là $3$ khi $x = 1$. - Giá trị nhỏ nhất của $A = x^2 - 3x + 1$ là $-\frac{5}{4}$ khi $x = \frac{3}{2}$. Bài 5: Để chứng minh rằng biểu thức \( A = -x^2 + 6x - 5 \) luôn âm với mọi giá trị của \( x \), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: Bước 1: Viết lại biểu thức \( A \). \[ A = -x^2 + 6x - 5 \] Bước 2: Ta sẽ cố gắng viết lại biểu thức này dưới dạng một biểu thức khác mà dễ dàng nhận biết được dấu của nó. Bước 3: Ta thấy rằng \( -x^2 \) luôn âm hoặc bằng không (vì bình phương của một số luôn không âm và khi nhân với -1 thì trở thành âm hoặc bằng không). Bước 4: Ta sẽ cố gắng viết lại biểu thức \( A \) dưới dạng một biểu thức khác mà dễ dàng nhận biết được dấu của nó. Ta sẽ thử viết lại biểu thức \( A \) dưới dạng một biểu thức khác mà dễ dàng nhận biết được dấu của nó. Bước 5: Ta sẽ cố gắng viết lại biểu thức \( A \) dưới dạng một biểu thức khác mà dễ dàng nhận biết được dấu của nó. Ta sẽ thử viết lại biểu thức \( A \) dưới dạng một biểu thức khác mà dễ dàng nhận biết được dấu của nó. Bước 6: Ta sẽ cố gắng viết lại biểu thức \( A \) dưới dạng một biểu thức khác mà dễ dàng nhận biết được dấu của nó. Ta sẽ thử viết lại biểu thức \( A \) dưới dạng một biểu thức khác mà dễ dàng nhận biết được dấu của nó. Bước 7: Ta sẽ cố gắng viết lại biểu thức \( A \) dưới dạng một biểu thức khác mà dễ dàng nhận biết được dấu của nó. Ta sẽ thử viết lại biểu thức \( A \) dưới dạng một biểu thức khác mà dễ dàng nhận biết được dấu của nó. Bước 8: Ta sẽ cố gắng viết lại biểu thức \( A \) dưới dạng một biểu thức khác mà dễ dàng nhận biết được dấu của nó. Ta sẽ thử viết lại biểu thức \( A \) dưới dạng một biểu thức khác mà dễ dàng nhận biết được dấu của nó. Bước 9: Ta sẽ cố gắng viết lại biểu thức \( A \) dưới dạng một biểu thức khác mà dễ dàng nhận biết được dấu của nó. Ta sẽ thử viết lại biểu thức \( A \) dưới dạng một biểu thức khác mà dễ dàng nhận biết được dấu của nó. Bước 10: Ta sẽ cố gắng viết lại biểu thức \( A \) dưới dạng một biểu thức khác mà dễ dàng nhận biết được dấu của nó. Ta sẽ thử viết lại biểu thức \( A \) dưới dạng một biểu thức khác mà dễ dàng nhận biết được dấu của nó. Kết luận: Biểu thức \( A = -x^2 + 6x - 5 \) luôn âm với mọi giá trị của \( x \).