Cho 3 điểm A(1;3) ,B(2;4) ,C(-3;5)
a)tìm tọa độ của vectơ AB,AC,BC
b)tính vectơ AB,BC
c) xác định tọa độ điểm N trên trục tung sao cho Q=2 |vectơ NA+vectơ 2NB| nhỏ nhất

Question

Triệu Linh · Accepted Answer

a) Tìm tọa độ các vectơ $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{BC}$

Công thức: Nếu $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$ thì $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$.

$\vec{AB} = (2 - 1; 4 - 3) = (1; 1)$

$\vec{AC} = (-3 - 1; 5 - 3) = (-4; 2)$

$\vec{BC} = (-3 - 2; 5 - 4) = (-5; 1)$

b) Tính độ dài các vectơ $AB, BC$

Độ dài của vectơ $\vec{u}(x; y)$ được tính bằng công thức: $|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

$AB = |\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$BC = |\vec{BC}| = \sqrt{(-5)^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$

c) Xác định tọa độ điểm $N$ trên trục tung để $Q = 2|\vec{NA} + 2\vec{NB}|$ nhỏ nhất

Để giải bài toán này, chúng ta sử dụng phương pháp tâm tỉ cự.

Bước 1: Tìm điểm $I$ sao cho $\vec{IA} + 2\vec{IB} = \vec{0}$

Gọi $I(x_I; y_I)$. Ta có:

$x_I = \frac{x_A + 2x_B}{1 + 2} = \frac{1 + 2(2)}{3} = \frac{5}{3}$

$y_I = \frac{y_A + 2y_B}{1 + 2} = \frac{3 + 2(4)}{3} = \frac{11}{3}$

Vậy điểm cố định $I$ có tọa độ $I\left(\frac{5}{3}; \frac{11}{3}\right)$.

Bước 2: Biến đổi biểu thức $Q$

Theo tính chất tâm tỉ cự, với mọi điểm $N$, ta có:

$\vec{NA} + 2\vec{NB} = (1 + 2)\vec{NI} = 3\vec{NI}$

Khi đó: $Q = 2|3\vec{NI}| = 6NI$.

Bước 3: Tìm điểm $N$ trên trục tung ($Oy$)

Vì $N \in Oy$ nên $N$ có tọa độ dạng $N(0; y_N)$.

Để $Q$ nhỏ nhất thì đoạn thẳng $NI$ phải nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi $N$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên trục tung $Oy$.

Khi chiếu điểm $I\left(\frac{5}{3}; \frac{11}{3}\right)$ lên trục $Oy$, ta giữ nguyên tung độ và cho hoành độ bằng $0$.

Vậy tọa độ điểm $N$ cần tìm là: $N\left(0; \frac{11}{3}\right)$.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu:

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BC}$

- Vectơ $\overrightarrow{AB}$:
  $$
  \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (2 - 1, 4 - 3) = (1, 1)
  $$

- Vectơ $\overrightarrow{AC}$:
  $$
  \overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (-3 - 1, 5 - 3) = (-4, 2)
  $$

- Vectơ $\overrightarrow{BC}$:
  $$
  \overrightarrow{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (-3 - 2, 5 - 4) = (-5, 1)
  $$

b) Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$

- Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$:
  $$
  |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2} = \sqrt{2}
  $$

- Độ dài của vectơ $\overrightarrow{BC}$:
  $$
  |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-5)^2 + (1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}
  $$

c) Xác định tọa độ điểm $N$ trên trục tung sao cho $Q = 2 |\overrightarrow{NA} + 2\overrightarrow{NB}|$ nhỏ nhất

Điểm $N$ nằm trên trục tung nên có dạng $N(0, y)$.

- Vectơ $\overrightarrow{NA}$:
  $$
  \overrightarrow{NA} = (1 - 0, 3 - y) = (1, 3 - y)
  $$

- Vectơ $\overrightarrow{NB}$:
  $$
  \overrightarrow{NB} = (2 - 0, 4 - y) = (2, 4 - y)
  $$

- Biểu thức cần tối thiểu hóa:
  $$
  Q = 2 |\overrightarrow{NA} + 2\overrightarrow{NB}| = 2 |(1, 3 - y) + 2(2, 4 - y)|
  $$
  $$
  = 2 |(1 + 4, 3 - y + 8 - 2y)|
  $$
  $$
  = 2 |(5, 11 - 3y)|
  $$
  $$
  = 2 \sqrt{5^2 + (11 - 3y)^2}
  $$
  $$
  = 2 \sqrt{25 + (11 - 3y)^2}
  $$

Để $Q$ nhỏ nhất, ta cần tối thiểu hóa biểu thức $(11 - 3y)^2$. Điều này xảy ra khi $11 - 3y = 0$, tức là $y = \frac{11}{3}$.

Vậy tọa độ điểm $N$ là $N\left(0, \frac{11}{3}\right)$.

Cho 3 điểm A(1;3) ,B(2;4) ,C(-3;5) a)tìm tọa độ của vectơ AB,AC,BC b)tính vectơ AB,BC c) xác định tọa độ điểm N trên trục tung sao cho Q=2 |vectơ NA+vectơ 2NB| nhỏ nhất

a) Tìm tọa độ các vectơ $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{BC}$

b) Tính độ dài các vectơ $AB, BC$

c) Xác định tọa độ điểm $N$ trên trục tung để $Q = 2|\vec{NA} + 2\vec{NB}|$ nhỏ nhất