trong mặt phẳng toạ độ Oxy,cho tam giác ABC có A(2;2),B(1;-3) và C(-3;0)
a) tìm toạ độ điểm E thoả mãn vectơ AE=vectơ -2AB+vectơ 3AC
b)tính số đo góc BCA của tam giác AbC
c) tìm toạ độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành
d) tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC

Question

trong mặt phẳng toạ độ Oxy,cho tam giác ABC có A(2;2),B(1;-3) và C(-3;0)
a) tìm toạ độ điểm E thoả mãn vectơ AE=vectơ -2AB+vectơ 3AC
b)tính số đo góc BCA của tam giác AbC
c) tìm toạ độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành 
d) tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC

✧˖°. 사랑🅽🅷í🅼~🅳🅰🆈🆈𝜗𝜚 ⊹ · Accepted Answer

a) Tìm tọa độ điểm $E$ thỏa mãn $\vec{AE} = -2\vec{AB} + 3\vec{AC}$

Trước hết, ta tính tọa độ các vectơ:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (1 - 2; -3 - 2) = (-1; -5)$
$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (-3 - 2; 0 - 2) = (-5; -2)$

Gọi tọa độ điểm $E$ là $(x_E; y_E)$. Khi đó $\vec{AE} = (x_E - 2; y_E - 2)$.

Theo giả thiết:

$$\vec{AE} = -2(-1; -5) + 3(-5; -2) = (2; 10) + (-15; -6) = (-13; 4)$$

Ta có hệ phương trình:

$x_E - 2 = -13 \Rightarrow x_E = -11$
$y_E - 2 = 4 \Rightarrow y_E = 6$

Vậy $E(-11; 6)$.

b) Tính số đo góc $BCA$ của tam giác $ABC$

Để tính góc $BCA$ (góc tại đỉnh $C$), ta sử dụng công thức cosin giữa hai vectơ $\vec{CB}$ và $\vec{CA}$:

$\vec{CB} = (1 - (-3); -3 - 0) = (4; -3) \Rightarrow |\vec{CB}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5$
$\vec{CA} = (2 - (-3); 2 - 0) = (5; 2) \Rightarrow |\vec{CA}| = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29}$

Tính tích vô hướng:

$\vec{CB} \cdot \vec{CA} = 4 \cdot 5 + (-3) \cdot 2 = 20 - 6 = 14$

$$\cos(BCA) = \frac{\vec{CB} \cdot \vec{CA}}{|\vec{CB}| \cdot |\vec{CA}|} = \frac{14}{5 \cdot \sqrt{29}} \approx 0.5199$$

Dùng máy tính cầm tay, ta suy ra: $\widehat{BCA} \approx 58^\circ 40'$.

c) Tìm tọa độ điểm $D$ để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Gọi $D(x_D; y_D)$, ta có $\vec{DC} = (-3 - x_D; 0 - y_D)$.

Từ câu a, ta đã biết $\vec{AB} = (-1; -5)$.

Ta có hệ phương trình:

$-3 - x_D = -1 \Rightarrow x_D = -2$
$0 - y_D = -5 \Rightarrow y_D = 5$

Vậy $D(-2; 5)$.

d) Tìm tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC$

Trực tâm $H(x; y)$ là giao điểm của các đường cao, thỏa mãn hệ điều kiện:

$\vec{AH} \perp \vec{BC} \Rightarrow \vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0$
$\vec{BH} \perp \vec{AC} \Rightarrow \vec{BH} \cdot \vec{AC} = 0$

Tính các vectơ liên quan:

$\vec{BC} = (-3 - 1; 0 - (-3)) = (-4; 3)$
$\vec{AC} = (-5; -2)$ (đã tính ở câu a)
$\vec{AH} = (x - 2; y - 2)$
$\vec{BH} = (x - 1; y + 3)$

Hệ phương trình tọa độ:

$-4(x - 2) + 3(y - 2) = 0 \Leftrightarrow -4x + 3y + 2 = 0$ (1)
$-5(x - 1) - 2(y + 3) = 0 \Leftrightarrow -5x - 2y - 1 = 0$ (2)

Giải hệ (1) và (2):

$\begin{cases} -4x + 3y = -2 \ -5x - 2y = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{1}{23} \ y = -\frac{14}{23} \end{cases}$

Vậy trực tâm $H\left(\frac{1}{23}; -\frac{14}{23} ight)$.

?

Timi · Answer

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng yêu cầu:

a) Tìm tọa độ điểm $ E $ thỏa mãn $\overrightarrow{AE} = -2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$

1. Tính $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:

$$
   \overrightarrow{AB} = (1 - 2, -3 - 2) = (-1, -5)
   $$

$$
   \overrightarrow{AC} = (-3 - 2, 0 - 2) = (-5, -2)
   $$

2. Tính $-2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$:

$$
   -2\overrightarrow{AB} = -2(-1, -5) = (2, 10)
   $$

$$
   3\overrightarrow{AC} = 3(-5, -2) = (-15, -6)
   $$

$$
   -2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} = (2, 10) + (-15, -6) = (-13, 4)
   $$

3. Tìm tọa độ điểm $ E $:

$$
   \overrightarrow{AE} = (-13, 4) \Rightarrow E = A + \overrightarrow{AE} = (2, 2) + (-13, 4) = (-11, 6)
   $$

Vậy tọa độ điểm $ E $ là $(-11, 6)$.

b) Tính số đo góc $ \angle BCA $ của tam giác $ ABC $

1. Tính các vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{CA}$:

$$
   \overrightarrow{BC} = (-3 - 1, 0 + 3) = (-4, 3)
   $$

$$
   \overrightarrow{CA} = (2 + 3, 2 - 0) = (5, 2)
   $$

2. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA}$:

$$
   \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = (-4) \cdot 5 + 3 \cdot 2 = -20 + 6 = -14
   $$

3. Tính độ dài các vectơ:

$$
   |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
   $$

$$
   |\overrightarrow{CA}| = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}
   $$

4. Tính cos của góc $ \angle BCA $:

$$
   \cos \angle BCA = \frac{\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{BC}| \cdot |\overrightarrow{CA}|} = \frac{-14}{5 \cdot \sqrt{29}}
   $$

5. Tính số đo góc $ \angle BCA $:

Sử dụng bảng giá trị cos để tìm góc gần đúng, hoặc sử dụng máy tính để tính góc từ giá trị cos.

c) Tìm tọa độ điểm $ D $ để tứ giác $ ABCD $ là hình bình hành

1. Điều kiện để $ ABCD $ là hình bình hành:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ hoặc $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.

2. Tính $\overrightarrow{CD}$ khi $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$:

$$
   \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} = (-1, -5)
   $$

$$
   D = C + \overrightarrow{CD} = (-3, 0) + (-1, -5) = (-4, -5)
   $$

Vậy tọa độ điểm $ D $ là $(-4, -5)$.

d) Tìm tọa độ trực tâm $ H $ của tam giác $ ABC $

1. Phương trình đường cao từ $ A $:

Đường cao từ $ A $ vuông góc với $ BC $, nên có hệ số góc là nghịch đảo đối của hệ số góc $ BC $.

Hệ số góc của $ BC $ là $\frac{3}{-4}$, nên hệ số góc của đường cao là $\frac{4}{3}$.

Phương trình đường cao từ $ A $:

$$
   y - 2 = \frac{4}{3}(x - 2)
   $$

$$
   y = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} + 2 = \frac{4}{3}x - \frac{2}{3}
   $$

2. Phương trình đường cao từ $ B $:

Đường cao từ $ B $ vuông góc với $ AC $, nên có hệ số góc là nghịch đảo đối của hệ số góc $ AC $.

Hệ số góc của $ AC $ là $\frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}$, nên hệ số góc của đường cao là $-\frac{5}{2}$.

Phương trình đường cao từ $ B $:

$$
   y + 3 = -\frac{5}{2}(x - 1)
   $$

$$
   y = -\frac{5}{2}x + \frac{5}{2} - 3 = -\frac{5}{2}x - \frac{1}{2}
   $$

3. Tìm giao điểm của hai đường cao:

Giải hệ phương trình:

$$
   \begin{cases}
   y = \frac{4}{3}x - \frac{2}{3} \
   y = -\frac{5}{2}x - \frac{1}{2}
   \end{cases}
   $$

Giải phương trình:

$$
   \frac{4}{3}x - \frac{2}{3} = -\frac{5}{2}x - \frac{1}{2}
   $$

Quy đồng và giải:

$$
   \frac{4}{3}x + \frac{5}{2}x = \frac{2}{3} - \frac{1}{2}
   $$

$$
   \frac{8x}{6} + \frac{15x}{6} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6}
   $$

$$
   \frac{23x}{6} = \frac{1}{6}
   $$

$$
   23x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{23}
   $$

Thay vào phương trình $ y = \frac{4}{3}x - \frac{2}{3} $:

$$
   y = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{23} - \frac{2}{3} = \frac{4}{69} - \frac{46}{69} = -\frac{42}{69} = -\frac{14}{23}
   $$

Vậy tọa độ trực tâm $ H $ là $\left(\frac{1}{23}, -\frac{14}{23}\right)$.

trong mặt phẳng toạ độ Oxy,cho tam giác ABC có A(2;2),B(1;-3) và C(-3;0) a) tìm toạ độ điểm E thoả mãn vectơ AE=vectơ -2AB+vectơ 3AC b)tính số đo góc BCA của tam giác AbC c) tìm toạ độ điểm D để tứ giá...