câu 2 vẽ hình Câu 1.Tính $\lim_{x\rightarrow0}\frac{(x+3)^--9}x.$,Câu 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC . Gọi hai điểm G,H lần lượt thuộc các cạnh SA, SC sao,cho $SG=\frac13SA,~SH=\frac13SC.$,a) Chứng minh rằng đường thẳng G H song song với mặt phẳng (ABC).,b) Gọi P là trung điểm của cạnh BC . Xác định giao tuyến của mặt phẳng (GHP) và (SAB),c) Tìm giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (GHP)

Question

Nhân Irving · Accepted Answer

{"userId":5432351,"userName":"Khà Duấn"}

Câu 1:

Tính $L = \lim_{x o 0} \frac{(x+3)^2 - 9}{x}$

Giải:

Khai triển hằng đẳng thức trên tử số:
$$(x+3)^2 - 9 = (x^2 + 6x + 9) - 9 = x^2 + 6x$$
Thay vào biểu thức giới hạn:
$$L = \lim_{x o 0} \frac{x^2 + 6x}{x} = \lim_{x o 0} \frac{x(x + 6)}{x}$$
Triệt tiêu $x$ (vì $x o 0$ nên $x eq 0$):
$$L = \lim_{x o 0} (x + 6) = 0 + 6 = 6$$
Kết quả: $L = 6$

Câu 2:

Cho hình chóp $S.ABC$. $G \in SA, H \in SC$ sao cho $\frac{SG}{SA} = \frac{SH}{SC} = \frac{1}{3}$.

a) Chứng minh $GH \parallel (ABC)$

Trong tam giác $SAC$, ta có $\frac{SG}{SA} = \frac{SH}{SC} = \frac{1}{3}$.
Theo định lý Ta-lét đảo, suy ra $GH \parallel AC$.
Mà $AC \subset (ABC)$ và $GH ot\subset (ABC)$.
Kết luận: $GH \parallel (ABC)$.

b) Tìm giao tuyến của $(GHP)$ và $(SAB)$

Ta có điểm $G$ là điểm chung thứ nhất giữa $(GHP)$ và $(SAB)$ (vì $G \in SA \subset (SAB)$).
Trong mặt phẳng đáy $(ABC)$, gọi $K$ là giao điểm của $HP$ và $AB$ (nếu chúng không song song). Tuy nhiên, cách làm phổ biến hơn là dựa vào tính chất song song:
Xét $(GHP)$ và $(SAB)$ có điểm chung $G$.
Trong mặt phẳng $(SAC)$, $GH \parallel AC$.
Trong mặt phẳng $(ABC)$, gọi $d$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AC$. Đường này sẽ cắt $AB$ tại $M$.
Cách xác định đơn giản: Trong mặt phẳng $(ABC)$, đường thẳng qua $P$ song song với $AC$ sẽ cắt $AB$ tại điểm $M$. Khi đó $GM$ chính là giao tuyến. Nếu đề bài không cho các tỷ lệ khác, giao tuyến là đường thẳng đi qua $G$ và một điểm trên $AB$ sao cho đoạn đó song song với các cạnh tương ứng.

c) Tìm giao điểm của đường thẳng $AB$ với mặt phẳng $(GHP)$

Xét mặt phẳng đáy $(ABC)$.
Trong $(ABC)$, ta tìm giao điểm của $AB$ với các đường thẳng nằm trong $(GHP)$.
Kéo dài $HP$ trong mặt phẳng $(SBC)$. Gọi $K = HP \cap BC$. (Lưu ý: $P$ nằm trên $BC$ nên $HP$ nằm trong mặt phẳng $SBC$).
Để tìm giao điểm của $AB$ với $(GHP)$, ta tìm giao điểm của $AB$ với giao tuyến của $(GHP)$ và $(ABC)$.
Giao tuyến của $(GHP)$ và $(ABC)$ là đường thẳng đi qua $P$ và song song với $AC$ (do $GH \parallel AC$). Gọi đường thẳng này là $d$.
Giao điểm cần tìm: Trong mặt phẳng $(ABC)$, gọi $I = d \cap AB$. Điểm $I$ chính là giao điểm của $AB$ với mặt phẳng $(GHP)$.

Timi · Answer

Câu 1:
Để tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{(x+3)^2 - 9}{x}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Phát triển biểu thức trong tử số:
   $$
   (x+3)^2 - 9 = x^2 + 6x + 9 - 9 = x^2 + 6x
   $$

2. Thay biểu thức đã phát triển vào giới hạn:
   $$
   \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 6x}{x}
   $$

3. Rút gọn phân số:
   $$
   \lim_{x \to 0} \frac{x(x + 6)}{x} = \lim_{x \to 0} (x + 6)
   $$
   (Chú ý rằng $x \neq 0$ trong quá trình rút gọn.)

4. Tính giới hạn:
   $$
   \lim_{x \to 0} (x + 6) = 0 + 6 = 6
   $$

Vậy, 
$$
\lim_{x \to 0} \frac{(x+3)^2 - 9}{x} = 6
$$

Câu 2:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh rằng đường thẳng GH song song với mặt phẳng (ABC).

Lập luận:

1. Xét các tỉ số đoạn thẳng:
   - Ta có $SG = \frac{1}{3}SA$ và $SH = \frac{1}{3}SC$.
   - Điều này có nghĩa là $G$ và $H$ lần lượt chia $SA$ và $SC$ theo cùng một tỉ lệ $\frac{1}{3}$.

2. Sử dụng định lý Thales:
   - Theo định lý Thales, nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và chia hai cạnh đó theo cùng một tỉ lệ, thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
   - Ở đây, đường thẳng $GH$ cắt hai cạnh $SA$ và $SC$ của tam giác $SAC$ và chia chúng theo cùng tỉ lệ $\frac{1}{3}$.
   - Do đó, $GH \parallel AC$.

3. Kết luận:
   - Vì $GH \parallel AC$ và $AC$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, nên $GH \parallel (ABC)$.

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (GHP) và (SAB).

Lập luận:

1. Xác định mặt phẳng (GHP):
   - Mặt phẳng (GHP) chứa đường thẳng $GH$ và điểm $P$.

2. Xác định mặt phẳng (SAB):
   - Mặt phẳng (SAB) chứa đường thẳng $SA$ và $SB$.

3. Tìm giao tuyến:
   - Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta cần tìm một đường thẳng chung của hai mặt phẳng này.
   - Ta thấy rằng điểm $G$ thuộc cả hai mặt phẳng (vì $G$ thuộc $SA$ và $GH$).
   - Do đó, đường thẳng $GP$ nằm trong mặt phẳng (GHP) và cũng nằm trong mặt phẳng (SAB) vì $G$ thuộc $SA$ và $P$ thuộc $BC$ (mà $BC$ thuộc $(SAB)$).

4. Kết luận:
   - Giao tuyến của hai mặt phẳng (GHP) và (SAB) là đường thẳng $GP$.

c) Tìm giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (GHP).

Lập luận:

1. Xác định mặt phẳng (GHP):
   - Mặt phẳng (GHP) chứa đường thẳng $GH$ và điểm $P$.

2. Xác định đường thẳng AB:
   - Đường thẳng $AB$ nằm trong mặt phẳng (SAB).

3. Tìm giao điểm:
   - Ta đã biết giao tuyến của hai mặt phẳng (GHP) và (SAB) là đường thẳng $GP$.
   - Do đó, giao điểm của đường thẳng $AB$ với mặt phẳng (GHP) chính là giao điểm của $AB$ với $GP$.

4. Xác định giao điểm:
   - Vì $P$ là trung điểm của $BC$, nên $P$ thuộc $AB$ khi $A = B$ hoặc $A = C$ (trường hợp đặc biệt).
   - Trong trường hợp tổng quát, ta cần tìm điểm $Q$ trên $AB$ sao cho $Q$ thuộc $GP$.

5. Kết luận:
   - Giao điểm của đường thẳng $AB$ với mặt phẳng (GHP) là điểm $Q$ trên $AB$ sao cho $Q$ thuộc $GP$. Để xác định chính xác $Q$, cần thêm thông tin về vị trí cụ thể của $A$, $B$, $C$ và $S$.