Giúp mình với! Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có điểm A trùng với gốc tọa độ, các điểm,B,D,S lần lượt thuộc Ox,Oy,Oz như hình bên dưới. Biết rằng $AB=2,AD=4$ và $SA=6.$,,a) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng BD là $(1;2;3).$,b) Tọa độ của điểm S là $(0;0;6).$,c) Tích vô hướng $\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{CD}$ bằng -4.,d) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SC}$ và $\overrightarrow{BD}$ lớn hơn $70^0.$

Question

Giúp mình với! Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có điểm A trùng với gốc tọa độ, các điểm,B,D,S lần lượt thuộc Ox,Oy,Oz như hình bên dưới. Biết rằng $AB=2,AD=4$ và $SA=6.$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/2395d35c42ef4e0ea99eea44deca691d.jpg />,a) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng BD là $(1;2;3).$,b) Tọa độ của điểm S là $(0;0;6).$,c) Tích vô hướng $\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{CD}$ bằng -4.,d) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{SC}$ và $\overrightarrow{BD}$ lớn hơn $70^0.$

Nhân Irving · Accepted Answer

{"userId":5081491,"userName":"Thành Nguyễn"}

a) Tọa độ trung điểm $BD$: $M = \left( \frac{2+0}{2}; \frac{0+4}{2}; \frac{0+0}{2} \right) = (1; 2; 0)$. Phát biểu đề bài ghi $(1; 2; 3)$ là Sai.

b) Tọa độ điểm $S$: Từ hình vẽ và $SA=6$ trên trục $Oz$, ta có $S(0;0;6)$. Phát biểu này Đúng.

c) Tích vô hướng $\vec{SB} \cdot \vec{CD}$:

$\vec{SB} = (2-0; 0-0; 0-6) = (2; 0; -6)$.
$\vec{CD} = (0-2; 4-4; 0-0) = (-2; 0; 0)$.
$\vec{SB} \cdot \vec{CD} = 2(-2) + 0(0) + (-6)(0) = -4$. Phát biểu này Đúng.

d) Góc giữa $\vec{SC}$ và $\vec{BD}$:

$\vec{SC} = (2; 4; -6)$ và $\vec{BD} = (-2; 4; 0)$.
$\cos(\vec{SC}, \vec{BD}) = \frac{|2(-2) + 4(4) + (-6)0|}{\sqrt{2^2+4^2+(-6)^2} \cdot \sqrt{(-2)^2+4^2+0^2}} = \frac{12}{\sqrt{56} \cdot \sqrt{20}} \approx 0,358$.
$\alpha \approx 69^\circ$. Vậy phát biểu lớn hơn $70^\circ$ là Sai.

Timi · Answer

Câu 1:
Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định tọa độ các điểm và kiểm tra từng điều kiện đã cho.

Giả sử:
- $ A(0,0,0) $
- $ B(b,0,0) $
- $ D(0,d,0) $
- $ S(0,0,s) $

Dựa vào các điều kiện:

1. Điều kiện $ AB = 2 $:

$$
   AB = \sqrt{(b-0)^2 + (0-0)^2 + (0-0)^2} = b = 2
   $$

Vậy $ b = 2 $.

2. Điều kiện $ AD = 4 $:

$$
   AD = \sqrt{(0-0)^2 + (d-0)^2 + (0-0)^2} = d = 4
   $$

Vậy $ d = 4 $.

3. Điều kiện $ SA = 6 $:

$$
   SA = \sqrt{(0-0)^2 + (0-0)^2 + (s-0)^2} = s = 6
   $$

Vậy $ s = 6 $.

Tọa độ các điểm:
- $ B(2,0,0) $
- $ D(0,4,0) $
- $ S(0,0,6) $

Kiểm tra từng điều kiện:

a) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $ BD $:

Trung điểm $ M $ của $ BD $ có tọa độ:
   $$
   M\left(\frac{2+0}{2}, \frac{0+4}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 2, 0)
   $$

Điều kiện này không đúng với tọa độ đã cho là $ (1, 2, 3) $.

b) Tọa độ của điểm $ S $:

Tọa độ của $ S $ là $ (0,0,6) $, điều kiện này đúng.

c) Tích vô hướng $ \overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{CD} $:

- $ \overrightarrow{SB} = (2,0,-6) $
   - $ \overrightarrow{CD} = (0,4,0) $

Tích vô hướng:
   $$
   \overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{CD} = 2 \times 0 + 0 \times 4 + (-6) \times 0 = 0
   $$

Điều kiện này không đúng với giá trị đã cho là -4.

d) Góc giữa hai vectơ $ \overrightarrow{SC} $ và $ \overrightarrow{BD} $:

- $ \overrightarrow{SC} = (0,0,6) $
   - $ \overrightarrow{BD} = (-2,4,0) $

Tích vô hướng:
   $$
   \overrightarrow{SC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0 \times (-2) + 0 \times 4 + 6 \times 0 = 0
   $$

Độ dài:
   $$
   |\overrightarrow{SC}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 6^2} = 6
   $$
   $$
   |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{20}
   $$

Cosine của góc giữa hai vectơ:
   $$
   \cos \theta = \frac{0}{6 \times \sqrt{20}} = 0
   $$

Vậy góc giữa hai vectơ là $ 90^\circ $, lớn hơn $ 70^\circ $.

Kết luận:
- Điều kiện b và d đúng.
- Điều kiện a và c không đúng.