trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy,cho tam giác ABC có A (-1;1) B (1;3) và trọng tâm là G (-2,2/3).Tìm toạ độ điểm M trên tia Oy sao cho tam giác MBC vuông tại M giải đúng rõ ràng

Để giải bài toán này, ta cần tìm tọa độ điểm \( M \) trên tia \( Oy \) sao cho tam giác \( MBC \) vuông tại \( M \). Bước 1: Tìm tọa độ điểm \( C \) Trước tiên, ta cần tìm tọa độ điểm \( C \). Biết rằng trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh, ta có: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right) = \left(-2, \frac{2}{3}\right) \] Với \( A(-1, 1) \) và \( B(1, 3) \), ta thay vào công thức trọng tâm: \[ \frac{-1 + 1 + x_C}{3} = -2 \quad \Rightarrow \quad \frac{x_C}{3} = -2 \quad \Rightarrow \quad x_C = -6 \] \[ \frac{1 + 3 + y_C}{3} = \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad \frac{4 + y_C}{3} = \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad 4 + y_C = 2 \quad \Rightarrow \quad y_C = -2 \] Vậy tọa độ điểm \( C \) là \( (-6, -2) \). Bước 2: Tìm tọa độ điểm \( M \) trên tia \( Oy \) Điểm \( M \) nằm trên tia \( Oy \) nên có dạng \( M(0, y) \). Để tam giác \( MBC \) vuông tại \( M \), vector \( \overrightarrow{MB} \) và vector \( \overrightarrow{MC} \) phải vuông góc, tức là tích vô hướng của chúng bằng 0: \[ \overrightarrow{MB} = (1 - 0, 3 - y) = (1, 3 - y) \] \[ \overrightarrow{MC} = (-6 - 0, -2 - y) = (-6, -2 - y) \] Tích vô hướng của hai vector này là: \[ 1 \cdot (-6) + (3 - y) \cdot (-2 - y) = 0 \] Giải phương trình: \[ -6 + (-6 + 2y + y^2) = 0 \] \[ y^2 + 2y - 12 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 4 + 48 = 52 \] \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -1 \pm \sqrt{13} \] Vì \( M \) nằm trên tia \( Oy \) (phía trên trục hoành), nên \( y > 0 \). Do đó, ta chọn \( y = -1 + \sqrt{13} \). Vậy tọa độ điểm \( M \) là \( \left(0, -1 + \sqrt{13}\right) \).