Một xưởng sản xuất có 2 máy, sản xuất ra 2 loại sản phẩm I và II.Một tấn sản phẩm loại I lãi 300 nghìn đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 400 nghìn đồng.Để sản xuất một tấn sản phẩm loại I cần máy thứ nhất làm việc trong 1 giờ và máy thứ 2 làm việc trong 2 giờ.Để sản xuất một tấn sản phẩm loại II cần máy thứ nhất làm việc trong 2 giờ và máy thứ 2 làm việc trong 1 giồ.Mỗi máy không đồng thời làm 2 loại sản phẩm cùng lúc.Một ngày máy thứ nhất làm việc không quá 5 giờ,máy thứ 2 làm việc không quá 4 giồ.Hỏi một ngày tiền lãi lớn nhất bằng bao nhiêu (đơn vị nghìn đồng)

Question

Na Mn · Accepted Answer

Tiền lãi lớn nhất trong một ngày là 1100 nghìn đồng.

Timi · Answer

Gọi x là số tấn sản phẩm loại I sản xuất trong một ngày, y là số tấn sản phẩm loại II sản xuất trong một ngày.

Điều kiện xác định:
- Số tấn sản phẩm loại I và loại II không thể âm, tức là $x \geq 0$ và $y \geq 0$.

Thời gian sử dụng máy:
- Máy thứ nhất làm việc trong 1 giờ để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I và 2 giờ để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại II. Tổng thời gian máy thứ nhất làm việc trong một ngày không quá 5 giờ, tức là $1x + 2y \leq 5$.
- Máy thứ hai làm việc trong 2 giờ để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I và 1 giờ để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại II. Tổng thời gian máy thứ hai làm việc trong một ngày không quá 4 giờ, tức là $2x + 1y \leq 4$.

Lãi:
- Một tấn sản phẩm loại I lãi 300 nghìn đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 400 nghìn đồng. Vậy tổng lãi trong một ngày là $300x + 400y$.

Bây giờ chúng ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $300x + 400y$ với các ràng buộc đã nêu.

Ta có hệ bất phương trình:
$$ 
\begin{cases} 
x \geq 0 \
y \geq 0 \
1x + 2y \leq 5 \
2x + 1y \leq 4 
\end{cases}
$$

Giải hệ bất phương trình này, ta tìm được các điểm cực trị của miền khả thi:
- Giao của $1x + 2y = 5$ và $2x + 1y = 4$:
$$ 
\begin{cases} 
x + 2y = 5 \
2x + y = 4 
\end{cases}
$$
Nhân phương trình thứ hai với 2:
$$ 
\begin{cases} 
x + 2y = 5 \
4x + 2y = 8 
\end{cases}
$$
Trừ hai phương trình:
$$ 
3x = 3 \implies x = 1
$$
Thay $x = 1$ vào $x + 2y = 5$:
$$ 
1 + 2y = 5 \implies 2y = 4 \implies y = 2
$$

Các điểm cực trị khác:
- $x = 0$, $y = 2.5$ (từ $1x + 2y = 5$)
- $x = 2$, $y = 0$ (từ $2x + 1y = 4$)

Tính lãi tại các điểm cực trị:
- Tại $x = 1$, $y = 2$: $300(1) + 400(2) = 300 + 800 = 1100$ nghìn đồng.
- Tại $x = 0$, $y = 2.5$: $300(0) + 400(2.5) = 1000$ nghìn đồng.
- Tại $x = 2$, $y = 0$: $300(2) + 400(0) = 600$ nghìn đồng.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $300x + 400y$ là 1100 nghìn đồng, đạt được khi $x = 1$ và $y = 2$.

Đáp số: Tiền lãi lớn nhất trong một ngày là 1100 nghìn đồng.

Nhân Irving · Answer

{"userId":5428321,"userName":"You Miss"}

1. Thiết lập hệ bất phương trình (Xác định miền nghiệm)

Gọi $x$ là số tấn sản phẩm loại I, $y$ là số tấn sản phẩm loại II sản xuất trong một ngày ($x \ge 0, y \ge 0$).

Dựa vào dữ liệu bài toán, ta có các ràng buộc sau:

Thời gian máy thứ nhất: Để sản xuất $x$ tấn loại I cần $1x$ giờ, $y$ tấn loại II cần $2y$ giờ. Tổng thời gian không quá 5 giờ:
$$x + 2y \le 5$$
Thời gian máy thứ hai: Để sản xuất $x$ tấn loại I cần $2x$ giờ, $y$ tấn loại II cần $1y$ giờ. Tổng thời gian không quá 4 giờ:
$$2x + y \le 4$$

Ta có hệ bất phương trình mô tả miền nghiệm $S$:

$$\begin{cases} x \ge 0 \ y \ge 0 \ x + 2y \le 5 \ 2x + y \le 4 \end{cases}$$

2. Xác định các đỉnh của miền nghiệm

Miền nghiệm của hệ trên là một tứ giác $OABC$ với các đỉnh:

O(0; 0): Gốc tọa độ.
A(2; 0): Giao điểm của đường thẳng $2x + y = 4$ với trục hoành.
B(1; 2): Giao điểm của hai đường thẳng $x + 2y = 5$ và $2x + y = 4$ (Giải hệ phương trình bằng phương pháp bấm máy tính).
C(0; 2.5): Giao điểm của đường thẳng $x + 2y = 5$ với trục tung.

3. Thiết lập hàm lợi nhuận và tìm giá trị lớn nhất

Hàm lợi nhuận (đơn vị: nghìn đồng) là:

$$F(x, y) = 300x + 400y$$

Giá trị lớn nhất của $F(x, y)$ sẽ đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác miền nghiệm:

Tại $O(0, 0)$: $F(0, 0) = 300(0) + 400(0) = 0$
Tại $A(2, 0)$: $F(2, 0) = 300(2) + 400(0) = 600$
Tại $B(1, 2)$: $F(1, 2) = 300(1) + 400(2) = 1100$
Tại $C(0, 2.5)$: $F(0, 2.5) = 300(0) + 400(2.5) = 1000$

Kết luận: Tiền lãi lớn nhất trong một ngày là 1.100 nghìn đồng (khi sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I và 2 tấn sản phẩm loại II).

Một xưởng sản xuất có 2 máy, sản xuất ra 2 loại sản phẩm I và II.Một tấn sản phẩm loại I lãi 300 nghìn đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 400 nghìn đồng.Để sản xuất một tấn sản phẩm loại I cần máy thứ...