Đề bài: Trong một hình vuông cạnh bằng 1, ta đặt 5 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng luôn tồn tại ít nhất 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ sử dụng nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý "hộp bồ câu"). Bước 1: Chia hình vuông thành các phần nhỏ Ta chia hình vuông có cạnh bằng 1 thành 4 hình vuông nhỏ hơn, mỗi hình vuông nhỏ có cạnh bằng $\frac{1}{2}$. Như vậy, diện tích của mỗi hình vuông nhỏ là $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$. Bước 2: Áp dụng nguyên lý Dirichlet Theo nguyên lý Dirichlet, nếu ta có 5 điểm đặt vào 4 hình vuông nhỏ, thì ít nhất phải có một hình vuông nhỏ chứa ít nhất 2 điểm. Điều này là do số điểm (5) nhiều hơn số hình vuông nhỏ (4). Bước 3: Tính khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm trong một hình vuông nhỏ Trong một hình vuông nhỏ có cạnh $\frac{1}{2}$, khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kỳ nằm trong hình vuông đó chính là đường chéo của hình vuông nhỏ. Độ dài đường chéo của một hình vuông cạnh $\frac{1}{2}$ được tính bằng công thức: \[ d = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Kết luận Do đó, trong ít nhất một hình vuông nhỏ, có ít nhất 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Điều này chứng minh rằng luôn tồn tại ít nhất 2 điểm trong hình vuông ban đầu mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá $\frac{\sqrt{2}}{2}$.