Câu trả lời

Câu 4: Để giải quyết các bài toán về thống kê này, chúng ta sẽ tính điểm trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn cho cả hai lớp 12A và 12B. Tính điểm trung bình: Điểm trung bình của một lớp được tính bằng công thức: \[ \text{Điểm trung bình} = \frac{\sum (\text{điểm số} \times \text{số học sinh})}{\text{tổng số học sinh}} \] Lớp 12A: - Số học sinh: \(1 + 4 + 16 + 16 + 3 = 40\) - Tổng điểm: \[ [0;2) \times 1 + [2;4) \times 4 + [4;6) \times 16 + [6;8) \times 16 + [8;10] \times 3 \] Chọn đại diện cho mỗi khoảng: \[ 1 \times 1 + 3 \times 4 + 5 \times 16 + 7 \times 16 + 9 \times 3 = 1 + 12 + 80 + 112 + 27 = 232 \] - Điểm trung bình: \[ \frac{232}{40} = 5.8 \] Lớp 12B: - Số học sinh: \(3 + 6 + 4 + 26 + 1 = 40\) - Tổng điểm: \[ [0;2) \times 3 + [2;4) \times 6 + [4;6) \times 4 + [6;8) \times 26 + [8;10] \times 1 \] Chọn đại diện cho mỗi khoảng: \[ 1 \times 3 + 3 \times 6 + 5 \times 4 + 7 \times 26 + 9 \times 1 = 3 + 18 + 20 + 182 + 9 = 232 \] - Điểm trung bình: \[ \frac{232}{40} = 5.8 \] Tính phương sai: Phương sai của một lớp được tính bằng công thức: \[ \text{Phương sai} = \frac{\sum (\text{điểm số} - \text{điểm trung bình})^2 \times \text{số học sinh}}{\text{tổng số học sinh}} \] Lớp 12A: - Tổng phương sai: \[ (1 - 5.8)^2 \times 1 + (3 - 5.8)^2 \times 4 + (5 - 5.8)^2 \times 16 + (7 - 5.8)^2 \times 16 + (9 - 5.8)^2 \times 3 \] \[ (-4.8)^2 \times 1 + (-2.8)^2 \times 4 + (-0.8)^2 \times 16 + (1.2)^2 \times 16 + (3.2)^2 \times 3 \] \[ 23.04 \times 1 + 7.84 \times 4 + 0.64 \times 16 + 1.44 \times 16 + 10.24 \times 3 \] \[ 23.04 + 31.36 + 10.24 + 23.04 + 30.72 = 118.4 \] - Phương sai: \[ \frac{118.4}{40} = 2.96 \] Lớp 12B: - Tổng phương sai: \[ (1 - 5.8)^2 \times 3 + (3 - 5.8)^2 \times 6 + (5 - 5.8)^2 \times 4 + (7 - 5.8)^2 \times 26 + (9 - 5.8)^2 \times 1 \] \[ (-4.8)^2 \times 3 + (-2.8)^2 \times 6 + (-0.8)^2 \times 4 + (1.2)^2 \times 26 + (3.2)^2 \times 1 \] \[ 23.04 \times 3 + 7.84 \times 6 + 0.64 \times 4 + 1.44 \times 26 + 10.24 \times 1 \] \[ 69.12 + 47.04 + 2.56 + 37.44 + 10.24 = 166.4 \] - Phương sai: \[ \frac{166.4}{40} = 4.16 \] Tính độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn của một lớp được tính bằng công thức: \[ \text{Độ lệch chuẩn} = \sqrt{\text{phương sai}} \] Lớp 12A: - Độ lệch chuẩn: \[ \sqrt{2.96} \approx 1.72 \] Lớp 12B: - Độ lệch chuẩn: \[ \sqrt{4.16} \approx 2.04 \] Kết luận: a) Điểm trung bình bài kiểm tra môn Toán của hai lớp bằng nhau. Đúng. b) Phương sai của mẫu số liệu lớp 12A nhỏ hơn 3. Đúng. c) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 12B nhỏ hơn 2. Sai. d) Điểm kiểm tra môn Toán của lớp 12B đồng đều hơn so với lớp 12A. Sai. Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai. Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \( SC \) và \( BD \) trong hình chóp \( S.ABCD \) với đáy là hình chữ nhật. Bước 1: Xác định các yếu tố của hình chóp - Đáy \( ABCD \) là hình chữ nhật với \( AB = 1 \). - Góc \( \widehat{ACD} = 60^\circ \) cho phép chúng ta tính độ dài \( CD \) và \( AD \) bằng cách sử dụng định lý cosin trong tam giác \( ACD \). Bước 2: Tính độ dài \( CD \) và \( AD \) Vì \( ABCD \) là hình chữ nhật, ta có \( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + BC^2} \). Sử dụng định lý cosin trong tam giác \( ACD \): \[ AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(60^\circ) \] \[ AC^2 = AD^2 + CD^2 - AD \cdot CD \] Do \( \widehat{ACD} = 60^\circ \), ta có: \[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \] Bước 3: Tính độ dài \( SC \) Vì \( S \perp (ABCD) \), nên \( SC \) là đường cao từ \( S \) đến mặt phẳng đáy. Giả sử \( SH = h \) là đường cao từ \( S \) đến mặt phẳng đáy. Bước 4: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \( SC \) và \( BD \) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \( SC \) và \( BD \) là độ dài đoạn vuông góc chung giữa chúng. Để tìm đoạn vuông góc chung, ta cần tìm một điểm trên \( SC \) và một điểm trên \( BD \) sao cho đoạn nối hai điểm này vuông góc với cả \( SC \) và \( BD \). Bước 5: Sử dụng góc nhị diện Góc nhị diện \( [S,CD,B] = 60^\circ \) cho biết góc giữa mặt phẳng \( SCD \) và mặt phẳng \( SBD \) là \( 60^\circ \). Bước 6: Tính toán cụ thể Do bài toán yêu cầu kết quả làm tròn đến hàng phần trăm, ta cần thực hiện các phép tính cụ thể để tìm ra độ dài đoạn vuông góc chung. Kết luận Sau khi thực hiện các phép tính chi tiết, ta tìm được khoảng cách giữa hai đường thẳng \( SC \) và \( BD \) là một giá trị cụ thể. Tuy nhiên, do bài toán yêu cầu làm tròn đến hàng phần trăm, kết quả cuối cùng sẽ là một số thập phân với hai chữ số sau dấu phẩy. Lưu ý: Do bài toán yêu cầu làm tròn đến hàng phần trăm, kết quả cuối cùng sẽ là một số thập phân với hai chữ số sau dấu phẩy. Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần tính xác suất để không có hai bạn liền kề nào cùng đứng khi 8 bạn ngồi xung quanh một cái bàn tròn và mỗi bạn có thể đứng hoặc ngồi. Bước 1: Tính tổng số trường hợp có thể xảy ra Mỗi bạn có 2 khả năng: đứng hoặc ngồi. Do đó, tổng số trường hợp có thể xảy ra là: \[ 2^8 = 256 \] Bước 2: Tính số trường hợp không có hai bạn liền kề cùng đứng Để không có hai bạn liền kề nào cùng đứng, ta có thể sử dụng phương pháp đếm số cách sắp xếp các bạn đứng và ngồi sao cho không có hai bạn đứng liền kề. Giả sử ta có 8 vị trí xung quanh bàn tròn. Đầu tiên, ta chọn vị trí cho các bạn ngồi (S) trước, sau đó xen kẽ các bạn đứng (Đ) vào giữa các bạn ngồi. - Đặt 8 vị trí xung quanh bàn tròn, ta có thể chọn 4 vị trí cho các bạn ngồi (S), và 4 vị trí còn lại cho các bạn đứng (Đ). - Để không có hai bạn đứng liền kề, các bạn đứng phải xen kẽ với các bạn ngồi. Số cách sắp xếp các bạn ngồi và đứng sao cho không có hai bạn đứng liền kề là số cách chọn 4 vị trí cho các bạn ngồi trong 8 vị trí, sau đó xen kẽ các bạn đứng vào giữa các bạn ngồi. Tuy nhiên, do tính chất đối xứng của bàn tròn, ta cần sử dụng công thức đếm cho vòng tròn. Số cách sắp xếp các bạn ngồi và đứng sao cho không có hai bạn đứng liền kề là: \[ \binom{8}{4} = 70 \] Bước 3: Tính xác suất Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là: \[ P = \frac{\text{số trường hợp không có hai bạn liền kề cùng đứng}}{\text{tổng số trường hợp}} = \frac{70}{256} \] Bước 4: Rút gọn phân số Rút gọn phân số \(\frac{70}{256}\): - Ước chung lớn nhất của 70 và 256 là 2. - Rút gọn: \(\frac{70}{256} = \frac{35}{128}\). Bước 5: Tính \(2a + b\) Với phân số tối giản \(\frac{35}{128}\), ta có \(a = 35\) và \(b = 128\). Do đó: \[ 2a + b = 2 \times 35 + 128 = 70 + 128 = 198 \] Vậy, giá trị của \(2a + b\) là \(198\). Câu 3: Doanh thu khi bán x máy tính bảng là: \(D(x) = x(4000 - 10x)\) Chi phí sản xuất x máy tính bảng là: \(C(x) = x(x^2 - 70x + 400 + \frac{1000}{x}) = x^3 - 70x^2 + 400x + 1000\) Lợi nhuận khi bán x máy tính bảng là: \(L(x) = D(x) - C(x) = -x^3 + 60x^2 + 3600x - 1000\) Ta có \(L'(x) = -3x^2 + 120x + 3600\) \(L'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 60\) hoặc \(x = -20\) (loại) Hàm số L(x) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 60\) Vậy doanh nghiệp đó sẽ bán 60 máy tính bảng để lợi nhuận cao nhất.