cho Δ ABC cân tại A và các điểm E , F lần lượt nằm trên các cạnh AC , AB sao cho BE ⊥ AC , CF ⊥ AB . Chứng minh BE=CF

Question

nguyenkhanhhieu263 · Accepted Answer

Vì ∠AFC= 90 độ (CF ⊥ AB)

Mà ∠AFC+∠BFC= 180 độ (kề bù)

90 độ+∠BFC= 180 độ

∠BFC= 180- 90= 90 độ

⇒∠BFC là góc vuông

Do đó ΔBFC là tam giác vuông

Vì ∠AEB= 90 độ (BE⊥AC)

Mà ∠AEB+∠BEC= 180 độ (kề bù)

90 độ+∠BEC= 180 độ

∠BEC= 180- 90= 90 độ

⇒∠BEC là góc vuông

Do đó ΔBEC là tam giác vuông

Xét 2 Δ vuông BFC và BEC có:

BC là cạnh chung

∠ABC= ∠ACB (2 góc ở đáy của tam giác cân)

⇒ΔBFC= ΔBEC (cạnh huyền- góc nhọn)

Nên BE= CF (2 cạnh tương ứng)

Timi · Answer

Để chứng minh $ BE = CF $ trong tam giác cân $ \Delta ABC $ tại $ A $, với các điểm $ E $ và $ F $ lần lượt nằm trên các cạnh $ AC $ và $ AB $ sao cho $ BE \perp AC $ và $ CF \perp AB $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xét tam giác cân: Vì $ \Delta ABC $ cân tại $ A $, nên $ AB = AC $.

2. Xét các tam giác vuông: 
   - Tam giác $ \Delta ABE $ vuông tại $ E $ vì $ BE \perp AC $.
   - Tam giác $ \Delta ACF $ vuông tại $ F $ vì $ CF \perp AB $.

3. Sử dụng tính chất của tam giác cân: 
   - Trong tam giác cân $ \Delta ABC $, đường cao từ đỉnh cân (ở đây là $ A $) cũng là đường trung tuyến. Do đó, $ BE $ và $ CF $ không chỉ là đường cao mà còn là đường trung tuyến của các tam giác vuông $ \Delta ABE $ và $ \Delta ACF $.

4. Chứng minh $ BE = CF $:
   - Vì $ \Delta ABC $ cân tại $ A $, nên $ \angle BAC = \angle ABC = \angle ACB $.
   - Do $ BE \perp AC $ và $ CF \perp AB $, hai đoạn thẳng này là các đường cao từ các đỉnh $ B $ và $ C $ của tam giác cân.
   - Trong tam giác cân, các đường cao từ các đỉnh của hai cạnh bên (ở đây là $ B $ và $ C $) có độ dài bằng nhau.

5. Kết luận: Từ các lập luận trên, ta có thể kết luận rằng $ BE = CF $.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng $ BE = CF $ trong tam giác cân $ \Delta ABC $.