Cho hai số nguyên dương $m,n$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p=\frac{m+n}{2}+5\sqrt{mn}$.

Question

Nhân Irving · Accepted Answer

{"userId":5045803,"userName":"minhthu_"}

Đề bài: Cho hai số nguyên dương $m, n$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p = \frac{m+n}{2} + 5\sqrt{mn}$.

Giải:

Để $p$ là một số nguyên, thì $\sqrt{mn}$ phải là một số hữu tỉ. Vì $m, n$ là các số nguyên dương, nên $\sqrt{mn}$ phải là một số nguyên. Đặt $\sqrt{mn} = k$ ($k \in \mathbb{Z}^+$).

Ta có phương trình:

$$2p = m + n + 10\sqrt{mn}$$

$$2p = (\sqrt{m} + \sqrt{n})^2 + 8\sqrt{mn}$$

Tuy nhiên, cách tiếp cận hiệu quả hơn là biến đổi như sau:

$$2p = m + n + 10\sqrt{mn} = (\sqrt{m} + 5\sqrt{n})^2 - 24n ext{ (không khả quan)}$$

Quay lại biểu thức: $2p = m + n + 10\sqrt{mn}$.

Để $\sqrt{mn}$ là số nguyên, và $p$ là số nguyên tố, ta xét trường hợp đặc biệt thường gặp ở dạng toán này là $m = n$.

Nếu $m = n$:
$$p = \frac{m+m}{2} + 5\sqrt{m \cdot m} = m + 5m = 6m$$
Vì $p$ là số nguyên tố, mà $p = 6m$ (chia hết cho 2 và 3) nên không có số nguyên dương $m$ nào thỏa mãn (ngoại trừ trường hợp $p$ không thể là số nguyên tố). Do đó $m eq n$.
Giả sử $m, n$ là các số chính phương. Đặt $m = a^2, n = b^2$ ($a, b \in \mathbb{Z}^+$):
$$p = \frac{a^2 + b^2}{2} + 5ab \Rightarrow 2p = a^2 + b^2 + 10ab = (a+b)^2 + 8ab$$
Hoặc: $2p = (a+5b)^2 - 24b^2$.

Kết luận: Thông thường với dạng bài này, yêu cầu thường là tìm $p$ hoặc chứng minh một tính chất của $m, n$. Nếu đề bài yêu cầu tìm các số cụ thể, bạn có thể kiểm tra các cặp số chính phương. Ví dụ: Nếu $a=1, b=1 \Rightarrow p=6$ (loại). Nếu $a=2, b=2 \Rightarrow p=24$ (loại). Nếu $a=4, b=1 \Rightarrow p = \frac{16+1}{2} + 5(4) = 28.5$ (loại).

Timi · Answer

Ta có:
$$p=\frac{m+n}{2}+5\sqrt{mn}.$$
Nhân cả hai vế với 2 ta được:
$$2p=m+n+10\sqrt{mn}.$$
Có:
$$2p=m+n+10\sqrt{mn}=m+10\sqrt{mn}+n=(\sqrt{m}+5\sqrt{n})^2-25n.$$
Từ đó suy ra:
$$2p+(\sqrt{m}-5\sqrt{n})^2=25n.$$
Vì $p$ là số nguyên tố nên $25n>2p,$ do đó $\sqrt{m}-5\sqrt{n}
e 0.$
Suy ra $25n-(\sqrt{m}-5\sqrt{n})^2=2p.$
Vì $25n-(\sqrt{m}-5\sqrt{n})^2$ chia hết cho 5 nên $2p$ chia hết cho 5.
Mà $p$ là số nguyên tố nên $p=5.$
Thay vào ta được:
$$10+(\sqrt{m}-5\sqrt{n})^2=25n.$$
Hay:
$$(\sqrt{m}-5\sqrt{n})^2=25n-10.$$
Vì $25n-10$ chia hết cho 5 nên $(\sqrt{m}-5\sqrt{n})^2$ chia hết cho 5.
Do đó $\sqrt{m}-5\sqrt{n}$ chia hết cho 5.
Đặt $\sqrt{m}-5\sqrt{n}=5k$ với $k$ là số nguyên dương.
Khi đó ta có:
$$25k^2=25n-10.$$
Hay:
$$5k^2=5n-2.$$
Vì $5k^2$ chia hết cho 5 nên $5n-2$ chia hết cho 5.
Điều này vô lý.
Vậy không tồn tại $m,n$ thỏa mãn đề bài.