Giúp mình với! Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy,điểm M thuộc đường tròn, Gọi K là trung điểm,của dây cung BM. Qua B dựng hấp tuyến với,đường tròn O cắt OK tại D.,DM,a) Chứng minh O là tiếp tuyến của,đường tròn.

Question

Nhân Irving · Accepted Answer

{"userId":5368163,"userName":"Học Toán"}

Đề bài

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn. Gọi K là trung điểm của dây cung AM. Qua A dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt OK tại D. Chứng minh: DM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lời giải

Phân tích: Vì K là trung điểm của dây AM nên OK⊥AM (quan hệ đường kính và dây cung).
Xét △OAD và △OMD:

OA=OM=R (bán kính).
Cạnh chung OD.
Vì OK vừa là đường cao (do OK⊥AM) vừa là đường trung tuyến của △OAM nên △OAM cân tại O. Khi đó OD (hay OK) đồng thời là đường phân giác của góc AOM⇒AOD=MOD.

Kết luận: △OAD=△OMD (c.g.c). ⇒OMD=OAD=90∘ (do AD là tiếp tuyến nên OAD=90∘). Vậy DM⊥OM tại M thuộc đường tròn, suy ra DM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta cần chứng minh rằng đường thẳng DM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bước 1: Xác định các yếu tố liên quan

- Gọi $ O $ là tâm của nửa đường tròn (O) với đường kính $ AB $.
- Điểm $ M $ thuộc nửa đường tròn, do đó $ \angle AMB = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
- $ K $ là trung điểm của dây cung $ BM $, do đó $ OK $ là đường trung trực của $ BM $.

Bước 2: Chứng minh $ DM $ là tiếp tuyến của đường tròn (O)

1. Chứng minh $ \angle ODM = 90^\circ $:

- Vì $ K $ là trung điểm của $ BM $, nên $ OK $ vuông góc với $ BM $.
   - Đường thẳng $ BD $ là tiếp tuyến của đường tròn tại $ B $, do đó $ \angle OBD = 90^\circ $.
   - Từ đó, $ \angle ODM = \angle OBD = 90^\circ $.

2. Chứng minh $ DM $ là tiếp tuyến:

- Vì $ \angle ODM = 90^\circ $, nên $ DM $ vuông góc với bán kính $ OM $ tại $ M $.
   - Theo định nghĩa, nếu một đường thẳng vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
   - Do đó, $ DM $ là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại $ M $.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng $ DM $ là tiếp tuyến của đường tròn (O).