ai chỉ em hướng dẫn em cách làm với

Câu 12: Để tìm số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ của cấp số nhân $(u_n)$ có tổng $n$ số hạng đầu tiên là $S_n = 5^n - 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm số hạng đầu $u_1$: - Tổng của 1 số hạng đầu tiên $S_1$ chính là số hạng đầu $u_1$: \[ S_1 = u_1 = 5^1 - 1 = 4 \] Vậy $u_1 = 4$. 2. Tìm công bội $q$: - Tổng của 2 số hạng đầu tiên $S_2$ là: \[ S_2 = u_1 + u_2 = 5^2 - 1 = 24 \] - Biểu diễn $u_2$ theo $u_1$ và $q$: \[ u_2 = u_1 \cdot q \] - Thay $u_1 = 4$ vào biểu thức trên: \[ u_2 = 4q \] - Thay $u_2$ vào $S_2$: \[ S_2 = 4 + 4q = 24 \] - Giải phương trình để tìm $q$: \[ 4 + 4q = 24 \\ 4q = 20 \\ q = 5 \] Vậy số hạng đầu $u_1 = 4$ và công bội $q = 5$. Đáp án đúng là: \[ C.~u_1=4,~q=5. \] Câu 1: Để giải quyết các bài toán liên quan đến tính liên tục và giới hạn của các hàm số đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bài toán: Cho hàm số \[ f(x) = \begin{cases} -\frac{x}{2} & \text{nếu } x \leq 1 \\ \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} & \text{nếu } x > 1 \end{cases} \] và \[ g(x) = x^2 - 3x + 1. \] Câu hỏi: a) Hàm số \( g(x) \) liên tục tại điểm \( x_0 = 1 \). b) Giới hạn \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\frac{1}{2} \). c) Giới hạn \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{1}{2} \). d) Hàm số \( y = f(x) + g(x) \) liên tục tại điểm \( x_0 = 1 \). Lời giải: a) Hàm số \( g(x) \) liên tục tại điểm \( x_0 = 1 \). Hàm số \( g(x) = x^2 - 3x + 1 \) là một đa thức, do đó nó liên tục trên toàn bộ miền xác định của nó, tức là trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). Do đó, \( g(x) \) liên tục tại mọi điểm, bao gồm cả \( x_0 = 1 \). b) Giới hạn \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\frac{1}{2} \). Khi \( x \to 1^- \), tức là \( x \) tiến dần về 1 từ phía bên trái, ta có \( x \leq 1 \). Do đó, ta sử dụng phần định nghĩa của \( f(x) \) khi \( x \leq 1 \): \[ f(x) = -\frac{x}{2}. \] Do đó, \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \left( -\frac{x}{2} \right) = -\frac{1}{2}. \] c) Giới hạn \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{1}{2} \). Khi \( x \to 1^+ \), tức là \( x \) tiến dần về 1 từ phía bên phải, ta có \( x > 1 \). Do đó, ta sử dụng phần định nghĩa của \( f(x) \) khi \( x > 1 \): \[ f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1}. \] Ta có thể rút gọn phân thức này: \[ \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-2}{x+1} \quad \text{(với \( x \neq 1 \))}. \] Do đó, \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x-2}{x+1} = \frac{1-2}{1+1} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}. \] d) Hàm số \( y = f(x) + g(x) \) liên tục tại điểm \( x_0 = 1 \). Để hàm số \( y = f(x) + g(x) \) liên tục tại \( x_0 = 1 \), ta cần kiểm tra giới hạn trái và giới hạn phải của \( y \) tại \( x = 1 \) và so sánh với giá trị của \( y \) tại \( x = 1 \). - Khi \( x \to 1^- \): \[ \lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} \left( -\frac{x}{2} + x^2 - 3x + 1 \right) = -\frac{1}{2} + 1 - 3 + 1 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}. \] - Khi \( x \to 1^+ \): \[ \lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} \left( \frac{x-2}{x+1} + x^2 - 3x + 1 \right) = -\frac{1}{2} + 1 - 3 + 1 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}. \] - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = f(1) + g(1) = -\frac{1}{2} + 1 - 3 + 1 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}. \] Vì \( \lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^+} y(x) = y(1) = -\frac{3}{2} \), nên hàm số \( y = f(x) + g(x) \) liên tục tại \( x_0 = 1 \). Kết luận: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng. Câu 2: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến hình chóp S.ABCD, ta sẽ lần lượt phân tích từng phần: a) Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) có đường giao tuyến là SA. - Trong hình chóp S.ABCD, các mặt phẳng (SAB) và (SAD) đều chứa cạnh chung SA. Do đó, đường giao tuyến của hai mặt phẳng này chính là đường thẳng SA. b) BC // (SAD). - Vì ABCD là hình bình hành, nên BC // AD. - Mặt khác, AD nằm trong mặt phẳng (SAD), do đó BC // (SAD). c) Gọi I là trung điểm của NP, khi đó IM song song với (SAC). - Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, AB, CD, nên NP là đường trung bình của tam giác ACD. - Do đó, I là trung điểm của NP, và IM là đường trung bình của tam giác SAN. - Vì M là trung điểm của SA, nên IM // AC và IM = \(\frac{1}{2}\)AC. - Do đó, IM song song với (SAC). d) Giao tuyến của (SCD) và (MNP) là đường thẳng song song với SD. - Mặt phẳng (SCD) chứa các điểm S, C, D. - Mặt phẳng (MNP) chứa các điểm M, N, P, trong đó M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, AB, CD. - Đường NP là đường trung bình của tam giác ACD, do đó NP // AD. - Vì AD // SD (do AD là cạnh của hình bình hành ABCD), nên NP // SD. - Do đó, giao tuyến của (SCD) và (MNP) là đường thẳng song song với SD. Vậy, các kết luận đã được chứng minh theo từng bước lập luận. Câu 1: Để giải bài toán này, ta cần xác định số đo góc \( u_n \) của mỗi ngôi sao khi \( n = 5 \). 1. Xác định số điểm trên đường tròn: - Với mỗi số nguyên dương \( n \), ta có \( n + 6 \) điểm trên đường tròn. - Khi \( n = 5 \), số điểm là \( 5 + 6 = 11 \). 2. Xác định cách nối các điểm: - Mỗi điểm được nối với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn. Điều này tạo thành một ngôi sao. 3. Tính số đo góc \( u_n \): - Góc \( u_n \) là góc ở đỉnh của ngôi sao. Để tính góc này, ta cần biết số đo của góc tạo bởi hai đường thẳng nối từ một điểm đến hai điểm cách nó hai điểm trên đường tròn. - Số đo của góc này có thể được tính bằng công thức: \[ u_n = \frac{360^\circ \times 2}{n + 6} \] - Thay \( n = 5 \) vào công thức: \[ u_5 = \frac{360^\circ \times 2}{11} = \frac{720^\circ}{11} \approx 65.45^\circ \] 4. Kết luận: - Giá trị của \( u_5 \) là \( 65.45^\circ \) (làm tròn đến hàng phần trăm).