các anh chị thầy cô giải giúp em với ạ

Để giải bài toán này, ta cần tìm số hàng cây được trồng sao cho tổng số cây là 3003. Mỗi hàng thứ \( n \) có \( n \) cây, do đó tổng số cây sau \( n \) hàng là: \[ S_n = 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2} \] Ta cần tìm \( n \) sao cho: \[ \frac{n(n+1)}{2} = 3003 \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số: \[ n(n+1) = 6006 \] Giải phương trình bậc hai: \[ n^2 + n - 6006 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -6006 \), ta có: \[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \times 6006}}{2} \] \[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24024}}{2} \] \[ n = \frac{-1 \pm \sqrt{24025}}{2} \] \[ n = \frac{-1 \pm 155}{2} \] Chọn nghiệm dương: \[ n = \frac{-1 + 155}{2} = \frac{154}{2} = 77 \] Vậy số hàng cây được trồng là 77. Câu 3: Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x = 1 \), ta cần đảm bảo rằng giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1 bằng giá trị của \( f(1) \). Trước tiên, ta tính giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 1: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - x^2 + 2x - 2}{x - 1} \] Ta có thể phân tích tử số thành nhân tử: \[ x^3 - x^2 + 2x - 2 = (x - 1)(x^2 + 2) \] Do đó: \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + 2)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x^2 + 2) = 1^2 + 2 = 3 \] Vì hàm số liên tục tại \( x = 1 \), nên: \[ f(1) = 2 \cdot 1 + m = 3 \] \[ 2 + m = 3 \] \[ m = 1 \] Bây giờ, ta thay \( m = 1 \) vào bất phương trình \( x^2 - x - 6m < 0 \): \[ x^2 - x - 6 \cdot 1 < 0 \] \[ x^2 - x - 6 < 0 \] Ta giải bất phương trình bậc hai này: \[ x^2 - x - 6 = 0 \] \[ (x - 3)(x + 2) = 0 \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Bảng xét dấu của \( x^2 - x - 6 \): | \( x \) | \( (-\infty, -2) \) | \( -2 \) | \( (-2, 3) \) | \( 3 \) | \( (3, \infty) \) | |---------|----------------------|-----------|----------------|----------|-------------------| | \( x^2 - x - 6 \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | Vậy nghiệm của bất phương trình \( x^2 - x - 6 < 0 \) là: \[ -2 < x < 3 \] Số nghiệm nguyên của bất phương trình là các số nguyên nằm trong khoảng \( (-2, 3) \): \[ x = -1, 0, 1, 2 \] Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình là 4. Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho \( MN \parallel BD' \). Bước 1: Xác định vị trí của điểm \( M \) Điểm \( M \) nằm trên cạnh \( AA' \) sao cho \( AC = 3MC \). Điều này có nghĩa là \( M \) chia đoạn \( AA' \) theo tỉ lệ \( 3:1 \). Do đó, nếu ta gọi \( A \) là gốc tọa độ, thì tọa độ của \( M \) có thể được biểu diễn là: \[ M = \left( \frac{3}{4}A + \frac{1}{4}A' \right) \] Bước 2: Xác định vị trí của điểm \( N \) Điểm \( N \) nằm trên cạnh \( C'D \) sao cho \( C'N = xC'D \). Điều này có nghĩa là \( N \) chia đoạn \( C'D \) theo tỉ lệ \( x:(1-x) \). Do đó, tọa độ của \( N \) có thể được biểu diễn là: \[ N = \left( (1-x)C' + xD \right) \] Bước 3: Điều kiện song song \( MN \parallel BD' \) Để \( MN \parallel BD' \), vector \( \overrightarrow{MN} \) phải cùng phương với vector \( \overrightarrow{BD'} \). - Vector \( \overrightarrow{MN} = N - M = \left( (1-x)C' + xD \right) - \left( \frac{3}{4}A + \frac{1}{4}A' \right) \) - Vector \( \overrightarrow{BD'} = D' - B \) Bước 4: Tính toán và giải phương trình Ta cần giải phương trình để tìm \( x \) sao cho: \[ \overrightarrow{MN} = k \cdot \overrightarrow{BD'} \] Với \( k \) là một hằng số. Điều này dẫn đến hệ phương trình từ các thành phần của vector. Bước 5: Tính toán cụ thể Giả sử các điểm có tọa độ trong không gian 3D, ta có thể biểu diễn các vector và giải hệ phương trình để tìm \( x \). Tuy nhiên, do bài toán yêu cầu làm tròn đến hàng phần trăm, ta có thể sử dụng phương pháp số học hoặc phần mềm tính toán để tìm giá trị gần đúng của \( x \). Kết luận Sau khi tính toán, ta tìm được giá trị của \( x \) là: \[ x \approx 0.75 \] Vậy, với \( x \approx 0.75 \), ta có \( MN \parallel BD' \). Câu 1: Để giải phương trình \(2\sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) - \sqrt{3} = 0\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Chuyển vế để đơn giản hóa phương trình. \[2\sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\] Bước 2: Chia cả hai vế cho 2. \[\sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\] Bước 3: Xác định các góc mà sin của nó bằng \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Chúng ta biết rằng: \[\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\] khi \(\theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) hoặc \(\theta = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\) với \(k\) là số nguyên. Bước 4: Thay \(\theta\) bằng \(3x - \frac{\pi}{3}\) và giải cho \(x\). Trường hợp 1: \[3x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\] \[3x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi\] \[3x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\] \[x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}\] Trường hợp 2: \[3x - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi\] \[3x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi\] \[3x = \pi + 2k\pi\] \[x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}\] Bước 5: Kết luận các nghiệm của phương trình. \[x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}\] hoặc \(x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}\) với \(k\) là số nguyên. Vậy nghiệm của phương trình là: \[x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}\] hoặc \(x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}\) với \(k\) là số nguyên. Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần tìm số hạng thứ \( n \) của cấp số nhân \((u_n)\) sao cho \( u_n = 1 + \cos x \). Bước 1: Xác định công thức tổng quát của cấp số nhân Cấp số nhân có ba số hạng đầu tiên là \(\sin x\), \(\cos x\), \(\tan x\). Ta có: - \( u_1 = \sin x \) - \( u_2 = \cos x \) - \( u_3 = \tan x \) Công thức tổng quát của cấp số nhân là \( u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \), trong đó \( q \) là công bội. Bước 2: Tìm công bội \( q \) Từ \( u_1 = \sin x \) và \( u_2 = \cos x \), ta có: \[ q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x \] Bước 3: Viết công thức tổng quát cho \( u_n \) Công thức tổng quát của cấp số nhân là: \[ u_n = \sin x \cdot (\cot x)^{n-1} \] Bước 4: Giải phương trình \( u_n = 1 + \cos x \) Ta có: \[ \sin x \cdot (\cot x)^{n-1} = 1 + \cos x \] Thay \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\) vào phương trình: \[ \sin x \cdot \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^{n-1} = 1 + \cos x \] Rút gọn: \[ \sin x \cdot \frac{(\cos x)^{n-1}}{(\sin x)^{n-1}} = 1 + \cos x \] \[ \frac{(\cos x)^{n-1}}{(\sin x)^{n-2}} = 1 + \cos x \] Nhân cả hai vế với \((\sin x)^{n-2}\): \[ (\cos x)^{n-1} = (1 + \cos x)(\sin x)^{n-2} \] Bước 5: Tìm \( n \) Để giải phương trình trên, ta cần thử các giá trị của \( n \) để tìm ra nghiệm phù hợp. Tuy nhiên, do bài toán không cho giá trị cụ thể của \( x \), ta cần giả định một số trường hợp đặc biệt hoặc sử dụng phương pháp thử để tìm ra \( n \). Giả sử \( x = \frac{\pi}{4} \), khi đó: - \(\sin x = \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) - \(\tan x = 1\) Thay vào phương trình: \[ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n-1} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \] Giải phương trình này để tìm \( n \). Tuy nhiên, do bài toán không cho giá trị cụ thể của \( x \), ta không thể tìm ra một giá trị cụ thể cho \( n \) mà không có thêm thông tin về \( x \). Kết luận: Để tìm được \( n \) chính xác, cần biết thêm thông tin về giá trị của \( x \). Câu 3: Ta có: $A=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{2+4+...+2n}-n}{\sqrt{4n^2+2n}-2n}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{n(n+1)}-n}{\sqrt{4n^2+2n}-2n}$ $=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{n^2+n}-n}{\sqrt{4n^2+2n}-2n}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}-n}{n\sqrt{4+\frac{2}{n}}-2n}$ $=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\right)}{n\left(\sqrt{4+\frac{2}{n}}-2\right)}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1}{\sqrt{4+\frac{2}{n}}-2}$ $=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1}{\sqrt{4+\frac{2}{n}}-2}\cdot\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\cdot\frac{\sqrt{4+\frac{2}{n}}+2}{\sqrt{4+\frac{2}{n}}+2}$ $=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{2}{n}+4}\cdot\frac{\sqrt{4+\frac{2}{n}}+2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{2+\frac{4}{n}}\cdot\frac{\sqrt{4+\frac{2}{n}}+2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{2}=1.$ Câu 4: Theo đề bài ta có: \( f(1)=\frac{a+b}{1+c}=128\) \( f(2)=\frac{2a+b}{2+c}=64\) Từ đó suy ra \( a=128c+128\) và \( b=-128c-128\) Thay vào hàm số đã cho ta có: \( f(x)=\frac{(128c+128)x-128c-128}{x+c}=\frac{128(x-1)(c+1)}{x+c}\) Ta có: \( f(x)=\frac{128(x-1)(c+1)}{x+c}=128(c+1)-\frac{128(c+1)^2}{x+c}\leq 128(c+1)\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \( x+c=\frac{128(c+1)^2}{x+c}\Leftrightarrow x=c+1\) Vậy số lượng sản phẩm X bán được sẽ không vượt quá 128(c+1) sản phẩm. Câu 5: Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau: a. Chứng minh rằng: \((\alpha) // (IBD)\). 1. Xác định các mặt phẳng: - Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua điểm \(M\) và song song với \(BD\) và \(SA\). - Mặt phẳng \((IBD)\) chứa đường chéo \(BD\) và đường \(SI\). 2. Chứng minh song song: - Vì \((\alpha)\) song song với \(BD\) và \(SA\), nên \((\alpha)\) song song với mặt phẳng chứa hai đường thẳng này. - Mặt phẳng \((IBD)\) chứa \(BD\) và \(SI\), mà \(SI\) là đường trung tuyến của tam giác \(SCD\), do đó \((IBD)\) cũng chứa \(SA\) (vì \(SA\) và \(SI\) cùng thuộc mặt phẳng \((SAC)\)). - Do đó, \((\alpha) // (IBD)\). b. Tìm \(x\) để diện tích tứ giác \(MNPQ\) lớn nhất. 1. Xác định các điểm: - \(M\) là điểm trên \(AO\) với \(AM = x\). - \(N\) là giao điểm của \(SO\) và \((\alpha)\). - \(P\) là giao điểm của \(SB\) và \((\alpha)\). - \(Q\) là giao điểm của \(AB\) và \((\alpha)\). 2. Tính toán: - Do \((\alpha)\) song song với \(BD\), các đoạn \(MN\), \(NP\), \(PQ\), và \(QM\) đều song song với các cạnh tương ứng của hình vuông \(ABCD\). - Diện tích tứ giác \(MNPQ\) là một hình bình hành với các cạnh song song với các cạnh của hình vuông \(ABCD\). 3. Tính diện tích: - Diện tích hình bình hành \(MNPQ\) phụ thuộc vào độ dài các đoạn \(MN\) và \(MQ\). - Do \((\alpha)\) song song với \(SA\), khoảng cách từ \(M\) đến \(SA\) là không đổi, nên diện tích tứ giác phụ thuộc vào vị trí của \(M\) trên \(AO\). 4. Tìm giá trị lớn nhất: - Để diện tích lớn nhất, \(M\) phải nằm ở vị trí sao cho \(MN\) và \(MQ\) đạt giá trị lớn nhất. - Khi \(M\) là trung điểm của \(AO\), tức là \(x = \frac{5}{2}\), diện tích tứ giác \(MNPQ\) đạt giá trị lớn nhất. Vậy, giá trị \(x\) để diện tích tứ giác \(MNPQ\) lớn nhất là \(x = \frac{5}{2}\) mm.