Các cách chứng mình 3 điểm thẳng hàng

Question

Tiểu Hồ Ly · Accepted Answer

Chứng minh ba điểm thẳng hàng là một dạng toán quan trọng và xuất hiện xuyên suốt từ chương trình hình học THCS đến THPT. Tùy vào dữ kiện đề bài, chúng ta có nhiều hướng tiếp cận khác nhau.

Dưới đây là tổng hợp các phương pháp phổ biến nhất:

1. Sử dụng góc bẹt ($180^{\circ}$)

Đây là cách cơ bản nhất. Nếu ta chứng minh được góc tạo bởi ba điểm $A, B, C$ là $180^{\circ}$, thì ba điểm đó thẳng hàng.

Cách làm: Chứng minh $\widehat{ABC} = 180^{\circ}$.

Ứng dụng: Thường dùng khi các điểm nằm quanh một đỉnh hoặc liên quan đến các góc kề bù.

2. Sử dụng tiên đề Euclid

Chứng minh hai đường thẳng được tạo ra từ ba điểm đó cùng song song với một đường thẳng thứ ba.

Cách làm: Nếu $AB \parallel d$ và $AC \parallel d$ thì $A, B, C$ thẳng hàng.

Lưu ý: Hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng song song với một đường thẳng thì chúng phải trùng nhau.

3. Sử dụng tính chất các đường đồng quy

Chứng minh điểm thứ ba nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm kia dựa vào các tính chất đặc biệt của tam giác.

Cách làm: Chứng minh $A, B, C$ cùng nằm trên đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác hoặc đường trung trực của một đoạn thẳng.

Ví dụ: Trong tam giác cân, trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp luôn thẳng hàng (đường thẳng Euler).

4. Sử dụng tính chất cộng đoạn thẳng

Cách làm: Chứng minh $AB + BC = AC$.

Ứng dụng: Thường dùng trong các bài toán định lượng hoặc khi biết chính xác độ dài các đoạn thẳng.

5. Sử dụng phương pháp Vector (Lớp 10)

Đây là phương pháp cực kỳ mạnh mẽ trong hình học tọa độ và đại số hóa hình học.

Cách làm: Chứng minh hai vector $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương.

Điều kiện: $\vec{AB} = k \cdot \vec{AC}$ (với $k eq 0$).

6. Sử dụng các định lý nổi tiếng

Trong các bài toán nâng cao, việc áp dụng các định lý kinh điển sẽ giúp lời giải ngắn gọn hơn:

Định lý Menelaus: Cho tam giác $ABC$ và các điểm $M, N, P$ lần lượt nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh $BC, CA, AB$. Ba điểm $M, N, P$ thẳng hàng khi và chỉ khi:

$\frac{MB}{MC} \cdot \frac{NC}{NA} \cdot \frac{PA}{PB} = 1$

Định lý Simson: Hình chiếu của một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác xuống ba cạnh của tam giác đó là ba điểm thẳng hàng.

Timi · Answer

Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, chúng ta có thể sử dụng một số phương pháp đơn giản phù hợp với trình độ lớp 7. Dưới đây là ba cách phổ biến:

Cách 1: Sử dụng tính chất của đường thẳng

1. Xác định hai điểm đầu tiên: Giả sử chúng ta có ba điểm A, B, C. Trước tiên, hãy xác định hai điểm, ví dụ A và B.
2. Vẽ đường thẳng qua hai điểm: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
3. Kiểm tra điểm thứ ba: Kiểm tra xem điểm C có nằm trên đường thẳng vừa vẽ hay không. Nếu C nằm trên đường thẳng đó, thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Cách 2: Sử dụng tính chất của góc

1. Xác định ba điểm: Giả sử ba điểm là A, B, C.
2. Kiểm tra góc: Tính góc giữa hai đoạn thẳng AB và BC. Nếu góc này bằng 180 độ, thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Cách 3: Sử dụng tính chất của diện tích tam giác

1. Xác định ba điểm: Giả sử ba điểm là A, B, C.
2. Tính diện tích tam giác: Tính diện tích của tam giác ABC. Nếu diện tích bằng 0, thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Ví dụ minh họa

Giả sử chúng ta có ba điểm A(1, 2), B(3, 4), C(5, 6).

- Cách 1: Vẽ đường thẳng qua A(1, 2) và B(3, 4). Kiểm tra xem C(5, 6) có nằm trên đường thẳng này không. Nếu có, ba điểm thẳng hàng.
- Cách 2: Tính góc giữa AB và BC. Nếu góc này bằng 180 độ, ba điểm thẳng hàng.
- Cách 3: Tính diện tích tam giác ABC. Nếu diện tích bằng 0, ba điểm thẳng hàng.

Các phương pháp trên đều đơn giản và dễ hiểu, phù hợp với trình độ lớp 7.