Giúp mình với! Bài 13: Cho biểu thức $A=\frac{x-7}{x-3\sqrt x}-\frac{3+\sqrt x}{\sqrt x}$ với $x0,~x
e9$,a) Rút gọn biểu thức A .,b) Tính $A:\frac1{\sqrt x-3}$ khi $x=\frac2{10-3\sqrt{11}}.$

Question

Giúp mình với!  Bài 13: Cho biểu thức $A=\frac{x-7}{x-3\sqrt x}-\frac{3+\sqrt x}{\sqrt x}$ với $x>0,~x
e9$,a) Rút gọn biểu thức A .,b) Tính $A:\frac1{\sqrt x-3}$ khi $x=\frac2{10-3\sqrt{11}}.$

Huycindy · Accepted Answer

$a)$ $A = \dfrac{x-7}{x-3\sqrt{x}} - \dfrac{3+\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \quad (x > 0; x 
eq 9)$
$= \dfrac{x-7}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)} - \dfrac{(3+\sqrt{x})(\sqrt{x}-3)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}$
$= \dfrac{x-7}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)} - \dfrac{x-9}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}$
$= \dfrac{x-7-x+9}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}$
$= \dfrac{2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}$
$b)$ Ta có $x = \dfrac{2}{10-3\sqrt{11}}$
$= \dfrac{2(10+3\sqrt{11})}{10^2-(3\sqrt{11})^2}$
$= \dfrac{2(10+3\sqrt{11})}{100-99}$
$= 20+6\sqrt{11}$
$= 11+2.3.\sqrt{11}+9$
$= (\sqrt{11}+3)^2$
Do đó $\sqrt{x} = \sqrt{(\sqrt{11}+3)^2} = \sqrt{11}+3$
Khi đó biểu thức $A : \dfrac{1}{\sqrt{x}-3} = \dfrac{2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)} . (\sqrt{x}-3)$
$= \dfrac{2}{\sqrt{x}}$
$= \dfrac{2}{\sqrt{11}+3}$
$= \dfrac{2(\sqrt{11}-3)}{11-9}$
$= \dfrac{2(\sqrt{11}-3)}{2}$
$= \sqrt{11}-3$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Rút gọn biểu thức $ A = \frac{x-7}{x-3\sqrt{x}} - \frac{3+\sqrt{x}}{\sqrt{x}} $

1. **Tìm mẫu số chung**:
   Mẫu số chung của hai phân thức là $ (x - 3\sqrt{x})\sqrt{x} $.

2. **Biến đổi từng phân thức**:
   - Đối với phân thức đầu tiên:
   $$
   \frac{x-7}{x-3\sqrt{x}} = \frac{(x-7)\sqrt{x}}{(x-3\sqrt{x})\sqrt{x}} = \frac{(x-7)\sqrt{x}}{x\sqrt{x} - 3x}
   $$

- Đối với phân thức thứ hai:
   $$
   \frac{3+\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{(3+\sqrt{x})(x-3\sqrt{x})}{(x-3\sqrt{x})\sqrt{x}} = \frac{(3+\sqrt{x})(x-3\sqrt{x})}{x\sqrt{x} - 3x}
   $$

3. **Ghép chung vào mẫu số**:
   $$
   A = \frac{(x-7)\sqrt{x} - (3+\sqrt{x})(x - 3\sqrt{x})}{x\sqrt{x} - 3x}
   $$

4. **Rút gọn tử số**:
   $$
   A = \frac{(x-7)\sqrt{x} - (3x + 3\sqrt{x} - 9\sqrt{x})}{x\sqrt{x} - 3x}
   $$
   $$
   = \frac{(x-7)\sqrt{x} - 3x + 6\sqrt{x}}{x\sqrt{x} - 3x}
   $$
   $$
   = \frac{x\sqrt{x} - 7\sqrt{x} - 3x + 6\sqrt{x}}{x\sqrt{x} - 3x}
   $$
   $$
   = \frac{x\sqrt{x} - 3x - \sqrt{x}}{x\sqrt{x} - 3x}
   $$

5. **Rút gọn thêm**:
   $$
   = \frac{(x-1)\sqrt{x}}{x\sqrt{x} - 3x} = \frac{(x-1)\sqrt{x}}{x(\sqrt{x}-3)}
   $$

Vậy, biểu thức $ A $ đã rút gọn thành:
$$
A = \frac{(x-1)\sqrt{x}}{x(\sqrt{x}-3)}
$$

### b) Tính $ A : \frac{1}{\sqrt{x} - 3} $ khi $ x = \frac{2}{10 - 3\sqrt{11}} $

1. **Tính $ A $**:
   Ta cần tính $ A $ với giá trị của $ x $.
   Đầu tiên tính $ \sqrt{x} $:
   $$
   x = \frac{2}{10 - 3\sqrt{11}} \Rightarrow \sqrt{x} = \sqrt{\frac{2}{10 - 3\sqrt{11}}}
   $$

2. **Tính $ A $**:
   Sử dụng giá trị của $ x $ và tính $ A $:
   Ta sẽ có:
   $$
   A = \frac{(x-1)\sqrt{x}}{x(\sqrt{x}-3)}
   $$

3. **Cuối cùng tính $ A : \frac{1}{\sqrt{x} - 3} $**:
   Ta có:
   $$
   A : \frac{1}{\sqrt{x} - 3} = A \cdot (\sqrt{x} - 3) = \frac{(x-1)\sqrt{x}}{x(\sqrt{x}-3)} \cdot (\sqrt{x} - 3)
   $$

Giả sử $ A = \frac{(x-1)}{x} $, ta sẽ dễ dàng thấy rằng:
   $$
   A \cdot (\sqrt{x} - 3) = \frac{(x-1)}{x}(\sqrt{x} - 3)
   $$

4. **Tính cụ thể cho $ x = \frac{2}{10 - 3\sqrt{11}} $**:
   Khi tính giá trị cụ thể, bạn thay vào và tính toán:
   $$
   A = \frac{\left(\frac{2}{10 - 3\sqrt{11}} - 1\right)}{\frac{2}{10 - 3\sqrt{11}}}(\sqrt{x} - 3)
   $$
   Tiến hành tính toán và rút gọn cho đến khi có kết quả cuối cùng.

Đáp án của bài toán sẽ có dạng số thực. Hãy tính kỹ và rút gọn theo từng bước.

mdung · Answer

a)

Với điều kiện $x > 0, x \neq 9$, ta có:

$A=\frac{x-7}{x-3\sqrt{x}}-\frac{3+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Phân tích mẫu thức thành nhân tử: $x - 3\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}-3)$. Quy đồng mẫu thức:

$A=\frac{x-7}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}-\frac{(3+\sqrt{x})(\sqrt{x}-3)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}$

$A=\frac{x-7-(x-9)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}$

$A=\frac{x-7-x+9}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}$

$A=\frac{2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}$

b)

Đặt biểu thức cần tính là $B = A : \frac{1}{\sqrt{x}-3}$. Thay kết quả rút gọn của $A$ vào:

$B=\frac{2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}\cdot (\sqrt{x}-3)=\frac{2}{\sqrt{x}}$

Trục căn thức ở mẫu để rút gọn giá trị của $x$:

$x=\frac{2(10+3\sqrt{11})}{(10-3\sqrt{11})(10+3\sqrt{11})}=\frac{2(10+3\sqrt{11})}{100-99}=20+6\sqrt{11}$

Biến đổi $x$ thành bình phương của một tổng:

$x=11+2\cdot 3\cdot \sqrt{11}+9=(\sqrt{11}+3)^{2}$

Vì $\sqrt{11} + 3 > 0$ nên:

$\sqrt{x}=\sqrt{(\sqrt{11}+3)^{2}}=\sqrt{11}+3$

Thay $\sqrt{x} = \sqrt{11} + 3$ vào biểu thức $B$:

$B=\frac{2}{\sqrt{11}+3}=\frac{2(\sqrt{11}-3)}{(\sqrt{11}+3)(\sqrt{11}-3)}=\frac{2(\sqrt{11}-3)}{11-9}=\sqrt{11}-3$

Khi $x = \frac{2}{10-3\sqrt{11}}$ thì giá trị của biểu thức là $\sqrt{11}-3$.