Giúp mình với! Bài 15: Cho biểu thức $A=(\frac1{\sqrt x}+\frac{\sqrt x}{\sqrt x+1}):\frac{\sqrt x}{x+\sqrt x}$ với $x0.$,a) Rút gọn biểu thức A,b) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=4.$,c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức $A=\frac{13}3.$

Question

Giúp mình với! Bài 15: Cho biểu thức $A=(\frac1{\sqrt x}+\frac{\sqrt x}{\sqrt x+1}):\frac{\sqrt x}{x+\sqrt x}$ với $x>0.$,a) Rút gọn biểu thức A,b) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=4.$,c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức $A=\frac{13}3.$

Huycindy · Accepted Answer

$a)$ $A = \left( \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} ight) : \dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \quad (x > 0)$
$= \dfrac{\sqrt{x}+1+x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)} : \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$
$= \dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)} . \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}$
$= \dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$
$b)$ Thay $x = 4$ vào biểu thức $A$ ta có:
$A = \dfrac{4+\sqrt{4}+1}{\sqrt{4}}$
$= \dfrac{4+2+1}{2}$
$= \dfrac{7}{2}$
$c)$ Để giá trị của biểu thức $A = \dfrac{13}{3}$ thì ta có:
$\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} = \dfrac{13}{3}$
$3(x+\sqrt{x}+1) = 13\sqrt{x}$
$3x+3\sqrt{x}+3 = 13\sqrt{x}$
$3x-10\sqrt{x}+3 = 0$
$3x-9\sqrt{x}-\sqrt{x}+3 = 0$
$3\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)-(\sqrt{x}-3) = 0$
$(\sqrt{x}-3)(3\sqrt{x}-1) = 0$
$\left[ \begin{aligned} \sqrt{x}-3&=0 \ 3\sqrt{x}-1&=0 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} \sqrt{x}&=3 \ \sqrt{x}&=\dfrac{1}{3} \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} x&=9 \ x&=\dfrac{1}{9} \end{aligned} ight.$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

**a)** Rút gọn biểu thức $ A=(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}):\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} $.

Trước hết, ta cần rút gọn từng phần của biểu thức.

1. Phần tử số:
   $$
   \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}
   $$
   Để cộng hai phân số này, ta cần tìm mẫu chung. Mẫu chung sẽ là $\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)$. Ta có:
   $$
   \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)} \quad \text{và} \quad \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} = \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)} = \frac{x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}
   $$
   Vậy:
   $$
   \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} = \frac{\sqrt{x}+1+x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)} = \frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}
   $$

2. Phần mẫu:
   $$
   \frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)} = \frac{1}{\sqrt{x}+1}
   $$

3. Kết hợp lại, ta có:
   $$
   A = \frac{\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}}{\frac{1}{\sqrt{x}+1}} = \frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}
   $$

Vậy, biểu thức rút gọn được là:
$$
A = \frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}
$$

**b)** Tính giá trị của biểu thức $ A $ khi $ x=4 $.

Thay $ x = 4 $ vào biểu thức rút gọn:
$$
A = \frac{4+\sqrt{4}+1}{\sqrt{4}} = \frac{4+2+1}{2} = \frac{7}{2}
$$

Vậy, giá trị của biểu thức $ A $ khi $ x=4 $ là:
$$
A = \frac{7}{2}
$$

**c)** Tìm giá trị của $ x $ để giá trị của biểu thức $ A = \frac{13}{3} $.

Ta có phương trình:
$$
\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} = \frac{13}{3}
$$
Nhân chéo, ta có:
$$
3(x+\sqrt{x}+1) = 13\sqrt{x}
$$
Sắp xếp lại:
$$
3x + 3\sqrt{x} + 3 = 13\sqrt{x}
$$
$$
3x + 3 = 13\sqrt{x} - 3\sqrt{x} = 10\sqrt{x}
$$
$$
3x + 3 = 10\sqrt{x}
$$
Để giải phương trình này, đặt $ \sqrt{x} = t $ (tức là $ x = t^2 $):
$$
3t^2 + 3 = 10t
$$
Sắp xếp lại:
$$
3t^2 - 10t + 3 = 0
$$
Sử dụng công thức nghiệm bậc 2:
$$
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6}
$$
Ta có hai nghiệm:
$$
t_1 = \frac{18}{6} = 3 \quad \text{và} \quad t_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
$$
Do đó:
$$
\sqrt{x} = 3 \implies x = 9 \quad \text{hoặc} \quad \sqrt{x} = \frac{1}{3} \implies x = \frac{1}{9}
$$

Vậy, giá trị của $ x $ để $ A = \frac{13}{3} $ là:
$$
x = 9 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{1}{9}
$$

mdung · Answer

{"userId":5430226,"userName":"Chí Đức Phạm"}

a)

Quy đồng mẫu thức trong dấu ngoặc:

$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1+(\sqrt{x}\cdot \sqrt{x})}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$

Rút gọn phân thức chia:

$\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}=\frac{1}{\sqrt{x}+1}$

Thực hiện phép chia (nhân nghịch đảo):

$A=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}:\frac{1}{\sqrt{x}+1}$

$A=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}\cdot (\sqrt{x}+1)$

$A=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$

$A = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$ với $x > 0$.

b)

Thay $x = 4$ (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức $A$ đã rút gọn:

$A=\frac{4+\sqrt{4}+1}{\sqrt{4}}$

$A=\frac{4+2+1}{2}=\frac{7}{2}$

Kết luận: Khi $x = 4$ thì $A = \frac{7}{2}$.

c)

Ta có phương trình:

$\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\frac{13}{3}$

Vì $x > 0 \Rightarrow \sqrt{x} > 0$, ta quy đồng và khử mẫu:

$3(x+\sqrt{x}+1)=13\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow 3x+3\sqrt{x}+3=13\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow 3x-10\sqrt{x}+3=0$

Đặt $t = \sqrt{x}$ (điều kiện $t > 0$). Phương trình trở thành:

$3t^{2}-10t+3=0$

Tách hạng tử để phân tích thành nhân tử:

$\Leftrightarrow 3t^{2}-9t-t+3=0$

$\Leftrightarrow 3t(t-3)-(t-3)=0$

$\Leftrightarrow (3t-1)(t-3)=0$

Với $t = 3 \Rightarrow \sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9$ (thỏa mãn ĐKXĐ).

Với $t = \frac{1}{3} \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{9}$ (thỏa mãn ĐKXĐ).

Để $A = \frac{13}{3}$ thì $x = 9$ hoặc $x = \frac{1}{9}$.