*Một dây đàn dài L , hai đầu cố định.
Hãy thiết lập điều kiện để xuất hiện sóng dừng và chứng minh công thức xác định các tần số riêng của dây.

Question

mdung · Accepted Answer

{"userId":5035057,"userName":"NAKSU"}

Điều kiện xuất hiện sóng dừng: Hai đầu dây cố định đóng vai trò là hai nút sóng. Để sóng dừng hình thành, chiều dài dây $L$ phải bằng một số nguyên lần nửa bước sóng $\frac{\lambda }{2}$.

$L=k\frac{\lambda }{2}$

Tốc độ truyền sóng $v$ trên dây liên hệ với tần số $f$ và bước sóng $\lambda $ qua công thức $v = \lambda f$.

Từ điều kiện $L = k \frac{\lambda}{2}$, ta suy ra bước sóng là

$\lambda = \frac{2L}{k}$.

Thay bước sóng vào công thức tốc độ:

$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{v}{2L/k}$.

Công thức các tần số riêng (tần số sóng dừng) là:

$f_{k}=k\frac{v}{2L}$

Tần số nhỏ nhất ($k=1$) được gọi là tần số cơ bản:

$f_1 = \frac{v}{2L}$.

Timi · Answer

Đề bài: Một dây đàn dài L, hai đầu cố định.  
Hãy thiết lập điều kiện để xuất hiện sóng dừng và chứng minh công thức xác định các tần số riêng của dây.

---

**Lời giải:**

1. **Thiết lập điều kiện xuất hiện sóng dừng trên dây đàn:**

- Dây đàn có chiều dài $ L $, hai đầu cố định nên tại hai đầu dây luôn có **vật chất đứng yên**, tức là tại hai đầu là các **bụng nút sóng (nút sóng - node)**.

- Sóng dừng trên dây được tạo ra do sự phản xạ của sóng truyền từ đầu này sang đầu kia và phản xạ lại.

- Điều kiện để sóng dừng xuất hiện là khoảng cách giữa hai nút sóng liên tiếp bằng một nửa bước sóng $\frac{\lambda}{2}$.

- Với dây dài $ L $ có hai đầu cố định, thì trên dây phải có một số nguyên $ n $ đoạn sóng $\frac{\lambda}{2}$:

$$
L = n \frac{\lambda}{2}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots
$$

Điều này có nghĩa là dây chứa đúng $ n $ đoạn sóng nửa bước sóng.

2. **Chứng minh công thức xác định các tần số riêng:**

- Tần số $ f $, bước sóng $\lambda$ và vận tốc sóng $ v $ liên hệ với nhau qua:

$$
v = f \lambda \quad \Rightarrow \quad f = \frac{v}{\lambda}
$$

- Từ điều kiện trên:

$$
L = n \frac{\lambda}{2} \Rightarrow \lambda = \frac{2L}{n}
$$

- Thay $\lambda$ vào biểu thức tần số:

$$
f_n = \frac{v}{\lambda} = \frac{v}{\frac{2L}{n}} = \frac{n v}{2L}
$$

- Do đó, các tần số riêng (các tần số cộng hưởng) của dây đàn là:

$$
\boxed{
f_n = \frac{n v}{2L}, \quad n=1,2,3,\ldots
}
$$

3. **Giải thích:**

- $ n = 1 $ là tần số cơ bản (tần số riêng cơ bản, hay tần số cơ bản nhất).

- Các giá trị $ n > 1 $ là các bội số của tần số cơ bản, gọi là các bậc sóng đứng (các tần số cộng hưởng cao hơn).

---

**Kết luận:**

- Để xuất hiện sóng dừng trên dây đàn hai đầu cố định, chiều dài dây phải bằng một số nguyên lần nửa bước sóng:

$$
L = n \frac{\lambda}{2}
$$

- Các tần số riêng của dây đàn được xác định bởi công thức:

$$
\boxed{
f_n = \frac{n v}{2L}, \quad n=1,2,3,\ldots
}
$$

---

**Chú ý:** Vận tốc sóng $ v $ trên dây có thể tính bằng công thức:

$$
v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}
$$

trong đó $ F $ là lực căng dây, $\mu$ là khối lượng dây trên một đơn vị chiều dài.

*Một dây đàn dài L , hai đầu cố định. Hãy thiết lập điều kiện để xuất hiện sóng dừng và chứng minh công thức xác định các tần số riêng của dây.