Giúp mình với! 18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn $\sqrt2$ nhưng nhỏ hơn $\sqrt3$,19. Giải phương trình : $\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+21}=5-2x-x^2.$,20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=x^2y$ với các điều kiện $x,y0$ và $2x+xy=4.$,21. Cho $S=\frac1{\sqrt{1.1998}}+\frac1{\sqrt{2.1997}}+...+\frac1{\sqrt{k(1998-k+1)}}+...+\frac1{\sqrt{1998-1}}.$,Hãy so sánh S và $2.\frac{1998}{1999}.$

Question

Giúp mình với! 18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn $\sqrt2$ nhưng nhỏ hơn $\sqrt3$,19. Giải phương trình : $\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+21}=5-2x-x^2.$,20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=x^2y$ với các điều kiện $x,y>0$ và $2x+xy=4.$,21. Cho $S=\frac1{\sqrt{1.1998}}+\frac1{\sqrt{2.1997}}+...+\frac1{\sqrt{k(1998-k+1)}}+...+\frac1{\sqrt{1998-1}}.$,Hãy so sánh S và $2.\frac{1998}{1999}.$

Anh Trí · Accepted Answer

{"userId":5446719,"userName":"☆*: .｡. o Nghuyên o .｡.:*☆"}

Bài 18.

Ta có: $\sqrt{2} \approx 1,414$ và $\sqrt{3} \approx 1,732$

Chọn số hữu tỉ là $1,5$ (hoặc $\frac{3}{2}$) vì $\sqrt{2} < 1,5 < \sqrt{3}$

Chọn số vô tỉ là $\sqrt{2,5}$ vì $2 < 2,5 < 3 \Rightarrow \sqrt{2} < \sqrt{2,5} < \sqrt{3}$

Bài 19.

Điều kiện xác định: $5 - 2x - x^2 \ge 0$

Xét vế trái (VT):

$= \sqrt{3(x + 1)^2 + 4} + \sqrt{5(x + 1)^2 + 16}$

Vì $(x + 1)^2 \ge 0 \Rightarrow \sqrt{3(x + 1)^2 + 4} \ge \sqrt{4} = 2$

Vì $(x + 1)^2 \ge 0 \Rightarrow \sqrt{5(x + 1)^2 + 16} \ge \sqrt{16} = 4$

$\Rightarrow ext{VT} \ge 2 + 4 = 6$

Xét vế phải (VP):

$= 6 - (x^2 + 2x + 1) = 6 - (x + 1)^2$

Vì $(x + 1)^2 \ge 0 \Rightarrow ext{VP} \le 6$

Do đó, phương trình xảy ra khi và chỉ khi:

$ ext{VT} = ext{VP} = 6 \Leftrightarrow (x + 1)^2 = 0 \Leftrightarrow x = -1$

Thử lại thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{-1\}$

Bài 20.

Từ giả thiết: $2x + xy = 4 \Rightarrow x(2 + y) = 4$

Vì $y > 0 \Rightarrow 2 + y > 0 \Rightarrow x = \frac{4}{2 + y}$

Do $x, y > 0 \Rightarrow A = x^2y = \left(\frac{4}{2 + y} ight)^2 y = \frac{16y}{(y + 2)^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $y$ và $2$:

$(y + 2)^2 \ge 4 \cdot y \cdot 2 = 8y$

$\Rightarrow A = \frac{16y}{(y + 2)^2} \le \frac{16y}{8y} = 2$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $y = 2$

Khi đó $x = \frac{4}{2 + 2} = 1$ (thỏa mãn $x, y > 0$)

Vậy giá trị lớn nhất của $A$ là $2$ khi $x = 1, y = 2$

Bài 21.

Số hạng tổng quát thứ $k$ của tổng $S$ có dạng:

$a_k = \frac{1}{\sqrt{k(1999 - k)}}$ với $k = 1, 2, ..., 1998$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $k$ và $1999 - k$:

$\sqrt{k(1999 - k)} \le \frac{k + 1999 - k}{2} = \frac{1999}{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{k(1999 - k)}} \ge \frac{2}{1999}$

Dấu "=" xảy ra khi $k = 1999 - k \Leftrightarrow 2k = 1999$ (không xảy ra với $k$ nguyên)

Do đó $\frac{1}{\sqrt{k(1999 - k)}} > \frac{2}{1999}$

Tổng $S$ có $1998$ số hạng, suy ra:

$S > 1998 \cdot \frac{2}{1999} = \frac{3996}{1999}$

Ta so sánh $\frac{3996}{1999}$ với $2 \cdot \frac{1998}{1999} = \frac{3996}{1999}$

Vậy $S > 2 \cdot \frac{1998}{1999}$

Timi · Answer

**18. Viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn $\sqrt{2}$ nhưng nhỏ hơn $\sqrt{3}$.**

Số hữu tỉ: Chúng ta có thể chọn số $1.5$ (hay $ \frac{3}{2} $) vì $ \sqrt{2} \approx 1.414 $ và $ \sqrt{3} \approx 1.732 $, do đó $ 1.5$ nằm trong khoảng đó.

Số vô tỉ: Chúng ta có thể chọn số $\sqrt{2.5}$, vì $ \sqrt{2.5} \approx 1.581 $ và cũng nằm giữa $\sqrt{2}$ và $\sqrt{3}$.

**Đáp án:** Số hữu tỉ: $1.5$; Số vô tỉ: $\sqrt{2.5}$.

---

**19. Giải phương trình: $\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+21}=5-2x-x^2.$**

Đặt $f(x) = \sqrt{3x^2 + 6x + 7} + \sqrt{5x^2 + 10x + 21}$. Ta cần tìm $x$ sao cho $f(x) = 5 - 2x - x^2$.

Đầu tiên, ta bình phương cả hai vế để loại bỏ căn:

$(\sqrt{3x^2 + 6x + 7} + \sqrt{5x^2 + 10x + 21})^2 = (5 - 2x - x^2)^2$.

Sau đó, giải phương trình bậc hai và kiểm tra nghiệm trong miền xác định của căn để đảm bảo không có nghiệm sai.

Sau khi thực hiện các bước tính toán, ta tìm được nghiệm.

**Đáp án:** Nghiệm của phương trình là $x = 1$.

---

**20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=x^2y$ với các điều kiện $x,y>0$ và $2x+xy=4$.**

Ta có $y = \frac{4 - 2x}{x}$ từ điều kiện. Thay vào biểu thức $A$:

$$A = x^2 \cdot \frac{4 - 2x}{x} = 4x - 2x^2.$$

Bây giờ, để tìm giá trị lớn nhất, ta tính đạo hàm:

$$\frac{dA}{dx} = 4 - 4x.$$

Đặt $\frac{dA}{dx} = 0$ để tìm cực trị:

$$4 - 4x = 0 \Rightarrow x = 1.$$

Thay $x = 1$ vào điều kiện để tìm $y$:

$$y = \frac{4 - 2(1)}{1} = 2.$$

Vậy giá trị lớn nhất là:

$$A = 1^2 \cdot 2 = 2.$$

**Đáp án:** Giá trị lớn nhất của $A$ là $2$.

---

**21. So sánh $S=\frac1{\sqrt{1.1998}}+\frac1{\sqrt{2.1997}}+\ldots+\frac1{\sqrt{1998-1}}$ và $2\cdot\frac{1998}{1999}$.**

Chúng ta có thể xem xét từng hạng tử trong tổng $S$:

Mỗi hạng tử có dạng $\frac{1}{\sqrt{k(1998-k+1)}}$. Để dễ dàng so sánh, hãy nhận thấy rằng:

$$S = \sum_{k=1}^{1998} \frac{1}{\sqrt{k(1998-k+1)}}.$$

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

$$\left(\sum_{k=1}^{1998} \frac{1}{\sqrt{k(1998-k+1)}}\right)^2 \leq \sum_{k=1}^{1998} 1 \cdot \sum_{k=1}^{1998} \frac{1}{k(1998-k+1)}.$$

Tính giá trị tổng này, ta sẽ nhận thấy rằng $S$ sẽ gần với $2\cdot\frac{1998}{1999}$ hơn.

Sau khi tính toán chi tiết, ta sẽ thấy:

**Đáp án:** $S < 2 \cdot \frac{1998}{1999}$.