Bài 31 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Hãy tính thể tích của khối hộp nếu biết độ dài cạnh bên bằng a, diện tích hai mặt chéo lần lượt là \({S_1},{S_2}\) và góc giữa hai mặt chéo bằng \(\alpha \).

Lời giải chi tiết

Giả sử hình hộp đã cho là \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\).

Gọi \({\rm{O}}{{\rm{O}}_1}\) là giao tuyến của hai mặt chéo.

Trong hai mặt chéo \(\left( {{A_1}{C_1}CA} \right)\) và \(\left( {{B_1}{D_1}DB} \right)\), qua điểm \(I \in O{O_1}\), ta lần lượt kẻ hai đường thẳng KE và MH đều vuông góc với \(O{O_1}\).

Khi đó \(\alpha  = \left( {MH,KE} \right)\) và MEHK là thiết diện thẳng khối hộp.

Đặt \(KE = x,MH = y\) thì \({S_{MEHK}} = {1 \over 2}xy\sin \alpha .\)

Áp dụng kết quả bài tập 30, ta có:

Vhộp = \({S_{MKHE}}.A{A_1} = {1 \over 2}xya\sin \alpha .\)

Nhưng \(xa = {S_1},ya = {S_2}\) suy ra \(x = {{{S_1}} \over a},y = {{{S_2}} \over a} \)

\(\Rightarrow xy = {{{S_1}{S_2}} \over {{a^2}}}.\)

Vậy Vhộp\( = {{{S_1}{S_2}\sin \alpha } \over {2a}}.\)