Bài 38 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD, \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng đó. Chứng minh rằng

\({V_{ABCD}} = {1 \over 6}AB.CD.d.\sin \alpha .\)

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Dựng hình hộp AEBF.MDNC ( gọi là hình hộp ngoại tiếp tứ diện ABCD).

Vì \(\left( {AEBF} \right)//\left( {MDNC} \right)\) nên chiều cao của hình hộp bằng khoảng cách d giữa AB và CD.

Theo bài 37 ta có :

\({V_{ABCD}} = {1 \over 3}\) Vhộp

\(\eqalign{  &  = {1 \over 3}{S_{MDNC}}.d  \cr  &  = {1 \over 3}.{1 \over 2}MN.CD\sin \alpha .d = {1 \over 6}AB.CD.d\sin \alpha . \cr} \)

Cách 2.

Dựng hình bình hành ABCE . Khi đó :

\({V_{A.BCD}} = {V_{E.BCD}}\) (do \(AE//\left( {BCD} \right)\))       (1)

\(\eqalign{  & {V_{E.BCD}} = {V_{B.ECD}}\;\;\;\;\;(2)  \cr  & {V_{B.ECD}} = {1 \over 3}{S_{ECD}}.d\left( {B,\left( {CDE} \right)} \right)\;\;\;(3)  \cr  &  \cr} \)

\({S_{ECD}} = {1 \over 2}CE.CD.\sin \widehat {ECD}\)

\(= {1 \over 2}AB.CD\sin \alpha \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4) \)

\(d\left( {B,\left( {CDE} \right)} \right) = d\left( {AB,CD} \right)(\) do \(AB//\left( {CDE} \right))\;(5)\)

Từ (1), (2), (3), (4), (5) suy  ra :

\({V_{ABCD}} = {1 \over 6}AB.CD.d\sin \alpha .\)