Bài 46 trang 11 SBT Hình học 12 Nâng cao

Dựng thiết diện của khối lập phương khi cắt bởi \(mp\left( {AEF} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng EF cắt A’D’ tại N, cắt A’B’ tại M, AN cắt DD’ tại P, AM cắt BB’ tại Q.

Vậy thiết diện là ngũ giác APFEQ.

Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lập phương bị chia bởi mặt phẳng \(\left( {AEF} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Đặt :

\(\eqalign{  & V = {V_{ABCD.A'B'C'D'}},  \cr  & {V_1} = {V_{ABCDC'QEFP}},  \cr  & {V_2} = {V_{AQEFP.B'A'D'}},  \cr  & {V_3} = {V_{A.MA'N}},  \cr  & {V_4} = {V_{PFD'N}},{V_5} = {V_{QMB'E}}. \cr} \)

Dễ thấy \({V_4} = {V_5}\) ( do tính đối xứng của hình lập phương),

\(\eqalign{  & {V_3} = {1 \over 6}AA'.A'M.A'N = {1 \over 6}a.{{3a} \over 2}.{{3a} \over 2} = {{3{a^3}} \over 8},  \cr  & {V_4} = {1 \over 6}PD'.D'F.D'N = {1 \over 6}.{a \over 3}.{a \over 2} .{a \over 2} = {{{a^3}} \over {72}},  \cr  & {V_2} = {V_3} - 2{V_4} = {{3{a^3}} \over 8} - {{2{a^3}} \over {72}} = {{25{a^3}} \over {72}},  \cr  & {V_1} = V - {V_2} = {a^3} - {{25{a^3}} \over {72}} = {{47} \over {72}}{a^3}. \cr} \)

Mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) chia khối lập phương thành hai phần lần lượt có thể tích là \({V_1} = {{47} \over {72}}{a^3},{V_2} = {{25{a^3}} \over {72}}.\)

Vậy : \({{{V_1}} \over {{V_2}}} = {{47} \over {25}}.\)