Bài 1.42 trang 18 SBT Giải tích 12 Nâng cao

\(y = {{x + 5} \over {2x + 1}}\)

Lời giải chi tiết:

+) Tìm giao điểm hai đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \frac{1}{2}\) nên TCN \(y = \frac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ + }} \frac{{x + 5}}{{2x + 1}} =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ - }} y =  - \infty \end{array}\)

Nên TCĐ \(x =  - \frac{1}{2}\)

Giao điểm hai đường tiệm cận \(I\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

+) Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {OI} \):

\(\left\{ \begin{array}{l}x = X - \frac{1}{2}\\y = Y + \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

+) Phương trình đường cong đối với hệ tọa độ IXY:

\(\begin{array}{l}Y + \frac{1}{2} = \frac{{X - \frac{1}{2} + 5}}{{2\left( {X - \frac{1}{2}} \right) + 1}}\\ \Leftrightarrow Y + \frac{1}{2} = \frac{{X + \frac{9}{2}}}{{2X}}\\ \Leftrightarrow Y + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{9}{{4X}}\\ \Leftrightarrow Y = \frac{9}{{4X}}\end{array}\)

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận điểm \(I\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) làm tâm đối xứng.

\(y = 3x + 4 + {2 \over {x + 1}}\)

Lời giải chi tiết:

+) Tìm giao điểm hai đường tiệm cận:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left( {3x + 4 + \frac{2}{{x + 1}}} \right) =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y =  - \infty \end{array}\)

Nên TCĐ \(x =  - 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {3x + 4} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{2}{{x + 1}} = 0\)

Nên TCX: \(y = 3x + 4\).

Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận thỏa mãn:

\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 3x + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(I\left( { - 1;1} \right)\).

+) Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {OI} \):

\(\left\{ \begin{array}{l}x = X - 1\\y = Y + 1\end{array} \right.\)

+) Phương trình đường cong đối với hệ tọa độ IXY:

\(\begin{array}{l}Y + 1 = 3\left( {X - 1} \right) + 4 + \frac{2}{{X - 1 + 1}}\\ \Leftrightarrow Y + 1 = 3X - 3 + 4 + \frac{2}{X}\\ \Leftrightarrow Y = 3X + \frac{2}{X}\end{array}\)

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận điểm \(I\left( { - 1;1} \right)\) làm tâm đối xứng.