Câu 49 trang 123 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hai mặt phằng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến ∆. Lấy hai điểm A, B cố định thuộc ∆ sao cho AB = a. Gọi SAB là tam giác đều trong (P), ABCD là hình vuông nằm trong (Q).

a) Tính góc giữa mặt phẳng (SCD) với các mặt phẳng (P) và (Q).

b) Gọi O₁ là giao điểm của hai đường thẳng B­₁C và A₁D, ở đó A₁, B₁ tương ứng là các trung điểm của SA, SB. Gọi H₁ là giao điểm của đường cao SH của tam giác SAB với mp(A₁B₁CD). Chứng minh rằng SO₁ vuông góc với SA và CD. Tính góc giữa mp(A₁B₁O₁) với các mặt phẳng (P) và (Q).

Lời giải chi tiết

a) Dễ thấy mp(SCD) cắt (P) theo giao tuyến Sx, Sx // AB.

Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD thì \(S{\rm{x}} \bot mp\left( {SHK} \right)\) và tam giác SHK vuông tại H, Suy ra \(\widehat {H{\rm{S}}K}\) là góc giữa hai mặt phẳng (SDC) và (P). Ta có:

\(\tan \widehat {H{\rm{S}}K} = {{HK} \over {H{\rm{S}}}} = {a \over {{{a\sqrt 3 } \over 2}}} = {{2\sqrt 3 } \over 3}\)

Vậy  nếu gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SDC) và (P) thì φ là góc thỏa mãn:

\(\tan \varphi  = {{2\sqrt 3 } \over 3}\)

Tương tự như trên thì \(\widehat {HK{\rm{S}}}\) là góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (Q).

Ta có: \(\tan \widehat {HK{\rm{S}}} = {{a\sqrt 3 } \over {2{\rm{a}}}} = {{\sqrt 3 } \over 2}\) .

b)

Dễ thấy ba điểm O₁, H₁, K thẳng hàng (do H₁ là giao điểm của SH với A₁B₁) và \({H_1}{O_1} = {H_1}K\). Mặt khác \({H_1}S = {H_1}H\). Suy ra O₁S // HK.

Do \(HK \bot AB\) và \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\) nên \(HK \bot \left( {SAB} \right)\).

Vậy \({O_1}S \bot \left( {SAB} \right)\), từ đó \({O_1}S \bot AB\)  và \({O_1}S \bot SA\).

Vì AB // CD, từ đó \({O_1}S \bot SA\) và \({O_1}S \bot C{\rm{D}}\)

Góc giữa hai mặt phẳng (A₁B₁O₁) và (Q) chính là \(\widehat {{H_1}KH}\).

\(\tan \widehat {{H_1}KH} = {{H{H_1}} \over {HK}} = {{a\sqrt 3 } \over {4{\rm{a}}}} = {{\sqrt 3 } \over 4}\)

Góc giữa hai mặt phẳng (A₁B₁O₁) và (P) chính là \(\widehat {H{H_1}K}\).

Ta có \(\tan \widehat {H{H_1}K} = {{HK} \over {H{H_1}}} = {a \over {{{a\sqrt 3 } \over 4}}} = {{4\sqrt 3 } \over 3}\).