Câu hỏi 8 - Mục Bài tập trang 89

1. Nội dung câu hỏi

M, N theo thứ tự là trung điểm của CD, AB;

2. Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của hình bình hành.

Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình bình hành.

3. Lời giải chi tiết

• Ta có: AE = EF = FC nên $AE=EF=FC=\frac{1}{3}AC$ (1)

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Suy ra $AO=CO=\frac{1}{2}AC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{CF}{CO}=\frac{\frac{1}{3}AC}{\frac{1}{2}AC}=\frac{2}{3}$ hay $CF=\frac{2}{3}CO$.

• Xét ∆BCD có CO là trung tuyến của tam giác và $CF=\frac{2}{3}CO$ nên F là trọng tâm của ∆BCD.

Do đó BF hay BM cũng là đường trung tuyến của ∆BCD.

Suy ra M là trung điểm của CD.

• Chứng minh tương tự đối với ∆ABD ta có E là trọng tâm của tam giác.

Do đó DE hay DN cũng là đường trung tuyến của ∆ABD.

Suy ra N là trung điểm của AB.

1. Nội dung câu hỏi

EMFN là hình bình hành.

2. Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của hình bình hành.

Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình bình hành.

3. Lời giải chi tiết

• Do M là trung điểm của CD (câu a) nên $MC=MD=\frac{1}{2}CD$.

         N là trung điểm của AB (câu a) nên $NB=NA=\frac{1}{2}AB$.

Mà AB = CD và AB // CD (do ABCD là hình bình hành)

Suy ra NB = MD và NB // MD.

Xét tứ giác BMDN có NB = MD và NB // MD

Do đó BMDN là hình bình hành.

Suy ra BM // DN và BM = DN.

• Ta có E là trọng tâm của ∆ABD nên $EN=\frac{1}{3}DN$.

             F là trọng tâm của ∆BCD nên $FM=\frac{1}{3}BM$.

Mà DN = BM (chứng minh trên) nên EN = FM.

• Xét tứ giác EMFN có EN = FM và EN // FM (do BM // DN)

Suy ra EMFN là hình bình hành.