Bài 3.38 trang 131 SBT hình học 12

Đề bài

Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) trong các trường hợp sau:

a) \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y =  - 1 - t}\\{z = 1}\end{array}} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 3t'}\\{y = 2 + 3t'}\\{z = 3t'}\end{array}} \right.\)

b) \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 4 - t}\\{z =  - 1 + 2t}\end{array}} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t'}\\{y = 2 - 3t'}\\{z =  - 3t'}\end{array}} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta '\).

Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\) là:  \(\overrightarrow u  = (1; - 1;0)\)  và \(\overrightarrow u ' = ( - 1;1;1)\).

Suy ra  \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow u } \right] = \left( { - 1; - 1;0} \right)\)

\((\alpha )\) đi qua điểm M₁(1; -1; 1) thuộc \(\Delta \) và có vecto pháp tuyến:  \(\overrightarrow {{n_{\alpha '}}}  = (1;1;0)\)

Vậy phưong trình của mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng \(x – 1 + y + 1=0 \) hay \(x + y = 0\)

Ta có: M₂((2; 2; 0) thuộc đường thẳng \(\Delta '\)

\(d(\Delta ,\Delta ') = d({M_2},(\alpha ))\)\( = \dfrac{{|2 + 2|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = 2\sqrt 2 \)

b) Hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) có phương trình là:

\(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 4 - t}\\{z =  - 1 + 2t}\end{array}} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t'}\\{y = 2 - 3t'}\\{z =  - 3t'}\end{array}} \right.\)

Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa \(\Delta \) và song song với \(\Delta '\) là 9x + 5y – 2z – 22 = 0

Lấy điểm M’(0; 2; 0) trên \(\Delta '\).

Ta có \(d(\Delta ,\Delta ') = d(M',(\alpha ))\)\( = \dfrac{{|5.(2) - 22|}}{{\sqrt {81 + 25 + 4} }} = \dfrac{{12}}{{\sqrt {110} }}\).

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) là \(\dfrac{{12}}{{\sqrt {110} }}\).