Bài 3.44 trang 132 SBT hình học 12

Đề bài

Cho mặt phẳng (α) : 2x + y  +z – 1 = 0  và đường thẳng d: ${\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y}{1}}={\displaystyle \frac{z+2}{-3}}$

Gọi M là giao điểm của d và (α), hãy viết phương trình của đường thẳng Δ  đi qua M vuông góc với d và nằm trong (α).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tìm giao điểm của d và (α).

- Đường thẳng Δ vuông góc với d và nằm trong (α) $\Rightarrow \overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}=\left[\overrightarrow{u_d},\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}\right]$

Lời giải chi tiết

Phương trình tham số của đường thẳng d: $\{\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=t\\ z=-2-3t\end{array}$

Xét phương trình $2(1+2t)+t+(-2–3t)–1=0$ $\iff 2t-1=0$ $\iff t={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Vậy đưởng thẳng d cắt mặt phẳng (α) tại điểm $M\left(2;{\displaystyle \frac{1}{2}};-{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$.

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) và vecto chỉ phương của đường thẳng d lần lượt là $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(2;1;1)$ và $\overrightarrow{u_d}=(2;1;-3)$.

Gọi $\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}$ là vecto pháp tuyến của Δ, ta có $\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}\mathrm{\perp }\overrightarrow{n_{\alpha }}$ và $\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}\mathrm{\perp }\overrightarrow{u_d}$.

Ta có: $\left[\overrightarrow{n_{\alpha }},\overrightarrow{u_d}\right]=\left(-4;8;0\right)$ nên chọn $\overrightarrow{u_{\mathrm{\Delta }}}=\left(1;-2;0\right)$

Vậy phương trình tham số của Δ là  $\{\begin{array}{c}x=2+t\\ y={\displaystyle \frac{1}{2}}-2t\\ z=-{\displaystyle \frac{7}{2}}\end{array}$